7.4.1二项分布-2022-2023学年高二数学考点讲解练（人教A版2019选择性必修第三册）

7.4.1二项分布 备注：资料包含：1. 基础知识归纳； 考点分析及解题方法归纳：考点包含：利用二项分布求分布列；二项分布的均值；二项分布的方差；服从二项分布随机变量最大问题；建立二项分布模型解决实际问题 2. 课堂知识小结 3. 考点巩固提升 知识归纳 1、相互独立事件 设A，B两个事件，如果事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响(即),则称事件A与事件B相互独立。 一般地，如果事件A1,A2,…,An 两两相互独立，那么这n个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即. 注：(1)互斥事件：指同一次试验中的两个事件不可能同时发生； (2)相互独立事件：指在不同试验下的两个事件互不影响. 2、n次独立重复试验 一般地，在相同条件下，重复做的n次试验称为n次独立重复试验. 在次独立重复试验中，记是“第次试验的结果”，显然， “相同条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验的影响 注: 独立重复试验模型满足以下三方面特征 第一：每次试验是在同样条件下进行； 第二：各次试验中的事件是相互独立的； 第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生. n 次独立重复试验的公式： ，而称p为成功概率. 3、二项分布 一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则 X 0 1 … k … n P … … 此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 二项分布的期望与方差：若，则 ， 几何分布的期望和方差： 若，其中，…， ．则 ，. ( 考点讲解 ) 考点1：利用二项分布求分布列 例1．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目的测试，如果通过两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是． (1)求甲被录用的概率； (2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为，求的分布列． 【方法技巧】 （1）利用二项分布计算甲通过两个和三个的项目的概率，相加即可； （2）利用二项分布，求分布列即可. 【变式训练】 1．　从学校乘车到火车站的途中有三个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设为途中遇到红灯的次数，求随机变量的概率分布. 2．食品安全问题越来越受到人们的重视，某超市在某种蔬菜进货前，要求食品安检部门对每箱蔬菜进行三轮各项指标的综合检测，只有三轮检测都合格，蔬菜才能在该超市销售．已知每箱这种蔬菜第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，第三轮检测合格的概率为，每轮检测只有合格与不合格两种情况，且各轮检测是否合格相互之间没有影响． (1)求每箱这种蔬菜不能在该超市销售的概率； (2)如果这种蔬菜能在该超市销售，则每箱可获利400元，如果不能在该超市销售，则每箱亏损200元，现有4箱这种蔬菜，求这4箱蔬菜总收益的分布列． 考点2：二项分布的均值 例2．从一批含有13件正品，2件次品的产品中有放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【方法技巧】 此时称随机变量X服从二项分布，记作，并称p为成功概率. 二项分布的期望与方差：若，则 【变式训练】 1．同时抛2枚质地均匀的硬币3次，设2枚硬币均正面向上的次数为X，则X的期望是（    ） A． B． C．1 D． 2．曲靖一中某班级有学生58人，其中男生29人，从该班级中随机地有放回地抽取一人，连续抽58次，抽到女生的次数的期望等于（    ） A．48 B．30 C．29 D．28 3．若随机变量，则数学期望E（X）＝（    ） A．6 B．3 C． D． 4．若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 考点3：二项分布的方差 例3．若随机变量，若则_____________. 【方法技巧】 根据二项分布的期望，方差公式即得. 【变式训练】 1．某同学参加学校数学知识竞赛，规定每个同学答题道，已知该同学每道题答对的概率为，则该同学答对题目数量的数学期望和方差分别为（    ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量服从二项分布，则_______. 4.已知随机变量，则（    ） A． B． C．从装有3个红球、9个黑球的袋中一次性摸出3个球，则可表示摸出的红球个数 D．桐人和茅场晶彦进行3场决斗，且桐人每场决斗的胜率均为（不存在平手），则可表示桐人的胜场数 考点4：服从二项分布随机变量最大问题 例4．《乘风破浪的姐姐》是一档深受观众喜爱的电视节目，节目采用组团比赛的方式进行，参赛选手需要全部参加完五场公开比赛，其中五场中有四场获胜，就能取得参加决赛的资格.若某参赛选手每