6.2.3 向量的数乘运算（教参Word）- 【勤径学升·同步练测】2022-2023学年高一新教材数学必修第二册（人教A版）

6.2.3　向量的数乘运算 [学习任务] 1.了解向量数乘的概念并理解数乘运算的几何意义. 2.理解并掌握向量数乘的运算律，会进行向量的数乘运算. 3.理解并掌握两向量共线的性质及判定方法，并能熟练地运用这些知识处理有关向量共线问题. [对应学生用书第10页] 知识点一　向量的数乘运算及运算律 1.向量的数乘 （1）定义：一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa. （2）规定 ①｜λa｜＝｜λ｜｜a｜； ②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0；（－1）a＝－a. 2.向量数乘的运算律 设λ，μ为实数，那么 （1）λ（μa）＝（λμ）a； （2）（λ＋μ）a＝λa＋μa； （3）λ（a＋b）＝λa＋λb. 特别地，我们有（－λ）a＝－（λa）＝λ（－a），λ（a－b）＝λa－λb. 知识点二　共线向量定理 　　向量a（a≠0）与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. [对应学生用书第10页] 探究一　向量的线性运算 [例1]　（1）计算： ①4（a＋b）－3（a－b）－8a； ②（5a－4b＋c）－2（3a－2b＋c）； ③. （2）设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋（2b－a）. [解]　（1）①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b. ②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－a－c. ③原式＝ ＝＝a－b. （2）原式＝a－b－a＋b＋2b－a ＝a＋b＝－a＋b ＝－（3i＋2j）＋（2i－j） ＝i＋j ＝－i－5j. 向量线性运算的基本方法 （1）类比方法：向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算.例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数. （2）方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算. 1.化简下列各式： （1）（a－b）－（2a＋4b）＋（2a＋13b）； （2）（2m－n）a－mb－（m－n）（a－b）（m，n为实数）. 解　（1）原式＝a＋b＝0. （2）原式＝2ma－na－mb－m（a－b）＋n（a－b）＝2ma－na－mb－ma＋mb＋na－nb＝ma－nb. 探究二　向量共线的判定及应用 [例2]　设a，b是不共线的两个非零向量. （1）若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，求证：A，B，C三点共线； （2）若8a＋kb与ka＋2b共线，求实数k的值. [解]　（1）证明：∵＝－＝（3a＋b）－（2a－b）＝a＋2b， 而＝－＝（a－3b）－（3a＋b） ＝－（2a＋4b）＝－2， ∴与共线，且有公共点B， ∴A，B，C三点共线. （2）∵8a＋kb与ka＋2b共线， ∴存在实数λ，使得8a＋kb＝λ（ka＋2b）， 即（8－λk）a＋（k－2λ）b＝0. ∵a与b不共线， ∴解得λ＝±2， ∴k＝2λ＝±4. 1.证明或判断三点共线的方法 （1）一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ（或＝λ等）即可. （2）利用结论：若A，B，C三点共线，O为直线外一点⇔存在实数x，y，使＝x＋y且x＋y＝1. 2.利用向量共线求参数的方法 判断、证明向量共线问题的思路是根据向量共线定理寻求唯一的实数λ，使得a＝λb（b≠0）.而已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解.若两向量不共线，必有向量的系数为零，利用待定系数法建立方程，从而解方程求得λ的值. 2.设两个非零向量e1，e2不共线，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2.问：是否存在实数k，使得A，B，D三点共线，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由. 解　设存在k∈R，使得A，B，D三点共线， ∵＝－＝（e1＋3e2）－（2e1－e2）＝－e1＋4e2， ＝2e1＋ke2. 又∵A，B，D三点共线， ∴存在λ∈R，使＝λ， ∴2e1＋ke2＝λ（－e1＋4e2）， ∴∴k＝－8， ∴存在实数k＝－8，使得A，B，D三点共线. 探究三　用已知向量表示未知向量 [例3]　 （链接教材第14页例6）在△ABC中，已知D是BC上的点，且CD＝2BD，设＝a，＝b，试用a和b表示. [解]　∵B，C，D三点共线，且CD＝2BD， ∴＝. 解法一：＝＋＝＋＝＋（－）＝＋＝a＋b. 解法二：∵－＝＝＝（－）， ∴＝＋（－）＝＋＝a＋b. （变条件）若将本例中的“CD＝2BD”改为“CD＝BD”，你能用两种方法解答吗？ 解　 解法一：如图，∵＝－，又CD＝BD， ∴＝