5.1.2 数据的数字特征-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(人教B版2019必修第二册)

5.1.2 数据的数字特征 一、最值 1、定义：一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况。 一般地，最大值用max，最小值用min表示。 2、特征：反映这组数据最极端的情况。 二、平均数 1、定义：如果给定的一组数是，则这组数的平均数为， 这一公式再数学中常简记为，其中的符号“”表示求和，读作“西格玛” 2、求和符号具有的性质： （1）； （2）； （3） 3、平均数的相关结论 （1）如果两组数和的平均数分别是和，则一组数的平均数是； （2）如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为。 （3）如果一组数的平均数为，则一组数的平均数为 三、中位数 如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为，则称为这组数的中位数； 如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为，则称为这组数的中位数. 四、众数 1、定义：一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数。 【注意】如果有几个数据出现的次数相同，并且比其他数据出现的次数都多，那么这几个数据都是这组数据的众数；若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数。 2、众数、中位数和平均数的比较 名称 优点 缺点 平均数 代表性较好，是反映数据集中趋势的量，一般情况下，可以反映出更多的关于样本数据的全体信息 任何一个数据的改变都会引起平均数的改变．数据越“离群”，对平均数的影响越大 中位数 不受少数几个极端数据(即排序靠前或靠后的数据)的影响 对极端值不敏感 众数 体现了样本数据的最大集中点 众数只能传递数据中的信息的很少一部分，对极端值不敏感，无法客观反映总体的特征 五、百分位数的计算 1、第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值． 2、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算i＝n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据； 若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数． 规定：0分位数是（即最小值），100%分位数是（即最大值）. 六、极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差。反映一组数据的变动幅度。 七、方差与标准差 1、方差：如果一组数据的平均数为，则方差为； 简化公式：= （方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方） 2、标准差：标准差是方差的算术平方根． ． 3、方差相关结论： ①如果一组数的方差为，则一组数的方差为； ②如果一组数的方差为，则一组数的方差为。 4、对方差、标准差的理解： （1）标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、方差越小，数据的离散程度越小。有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度，方差与标准差的测量效果一致，在实际应用中一般采用标准差。 （2）标准差、方差的取值范围为： 标准差、方差为0时，样本各数据全相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性。 （3）标准差的单位与样本数据一致。 题型一 平均数、中位数、众数的计算 【例1】一个车间里有名工人装配同种电子产品，现记录他们某天装配电子产品的件数如下：10，12，9，7，10，12，9，11，9，8，若这组数据的平均数为，中位数为，众数为，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】某校组织歌咏比赛，已知5位评委按百分制分别给出某参赛班级的评分（评分为整数），则下列选项中，可以判断出评分中一定出现100分的是（ ） A．平均数为97，中位数为95 B．中位数为95，众数为98 C．平均数为98，众数为98 D．中位数为96，极差为8 【变式1-2】学校举行演讲比赛，11位评委对甲同学《祖国，我爱你》演讲的评分情况是： 评分 7.8 8 9 9.5 评委人数 1 2 3 5 去掉一个最高分和一个最低分，则甲同学的最终得分为（ ） A．8.5 B．8.9 C．9.0 D．9.1 【变式1-3】已知一组数据，且．若该组数据的众数是中位数的倍，则该组数据的平均数为（ ） A．6 B．6.5 C．7 D．7.5 【变式1-4】如图是某市连续16日的空气质量指数趋势统计图，空气质量指数（AQI）小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，则下列说法不正确的是（