【专项训练】相似三角形五大模型+训练（共45题）-【重要笔记】2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练（人教版）

【专项训练】相似三角形五大模型+训练（共45题） 模型1：平行线模型 1.如图，在△ABC中，已知点D，E分别是边AC，BC上的点，DE∥AB，且CE：EB＝2：3，若DE＝4，则AB等于（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【变式1-1】如图，F是平行四边形ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】如图，已知在四边形ABCD中，AD∥BC．E为边CB延长线上一点，联结DE交边AB于点F，联结AC交DE于点G，且＝． （1）求证：AB∥CD； （2）如果AE2＝AG•AC，求证：＝． 【变式1-3】如图，已知AB∥EF∥CD，AC，BD相交于点E，EF：AB＝2：3． （1）若CE＝4，求AE的长； （2）若CD＝6，求AB的长； （3）若四边形ABFE的面积为8，直接写出△CEF的面积． 模型2：“A”字或反“8”字模型 2.如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，BC＝5，点D，E分别在AB，AC上，AD＝2，∠AED＝∠B，则DE＝（　　） A． B． C．3 D．2 【变式2-1】如图，在△ABC中，∠ACD＝∠B，AD＝4，AC＝6．求BD的长． 【变式2-2】如图，在⊙O中，弦AB、CD交于点E．AE＞BE，若AB＝8，CE＝4，DE＝3，求AE． 【变式2-3】如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点E，DB平分∠ADC，且AB2＝BE•BD． （1）求证：△ABE∽△DCE； （2）AE•CD＝BC•ED． 题型3：双垂直模型（射影定理） 3.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，∠ACB＝90°，若BC＝6cm，AC＝8cm，求BD的长． 【变式3-1】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BD＝4，AD＝6． （1）求证△ABD∽△CAD； （2）求AC的长． 【变式3-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且＝． （1）求证△ACD∽△ABC； （2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长． 【变式3-3】已知关于x的方程x2﹣2（a+b）x+c2+2ab＝0有两个相等的实数根，其中a、b、c为△ABC的三边长． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若CD是AB边上的高，AC＝2，AD＝1，求BD的长． 题型4：一线三等角模型 4.如图，正方形ABCD中，点E在BC边上，且AE⊥EF，若BE＝2，CF＝，求正方形ABCD的边长． 【变式4-1】如图，在等腰直角△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，有∠ADE＝45°． （1）证明：△BDA∽△CED． （2）若BC＝6，当AE＝ED时，求BD的长． 【变式4-2】如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD． （1）若AP＝3，求BD的长； （2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD． 题型5：手拉手模型-旋转相似 5.已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：△DAE∽△BAC． 【变式5-1】如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，求证：（1）△ABC∽△ADE （2）若AC：BC＝3：4，求BD：CE为多少 【变式5-2】如图，在△ABC与△DEC中，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝6，BC＝3，CD＝5，CE＝2.5，连接AD，BE． （1）求证：△ACD∽△BCE； （2）若∠BCE＝45°，求△ACD的面积． 一、解答题 1．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，点E是AB上一点，连接DE，BD2=BC·BE. 证明：△BCD∽△BDE. 2．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AD=6，CD=2．求证：△BCD∽△ACB． 3．已知线段a，b的比例中项线段，线段，求线段b． 4．一个三角形的三边长分别为12cm，8cm，7cm，另一个三角形的三边长分别为16cm，24cm，14cm，这两个三角形相似吗？为什么？ 5．已知：如图，Rt△CDE中，∠ABC=∠CDE=90°，且BC与CD共线，联结AE，点M为AE中点，联结BM，交AC于点G，联结MD，交CE于点H （1）求证：MB=MD； （2）当AB=BC，DC=DE时，求证：四边形MGCH为矩形． 7．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC边上的一个动点（不与B，C点重合），∠ADE＝45°，求证：△ABD∽△DCE； 8．如图，在梯形 中， ，对角线 、 交于点O，点E在 上，