专题10 线段中的动点问题与数学思想 专题讲练-备战2022-2023学年七年级数学上学期期末考试真题汇编（人教版）

专题10 线段中的动点问题与数学思想 专题讲练 线段有关的动点问题（数轴动点题）是人教版七年级上学期压轴题，而四种数学思想则一直贯穿我们整个中学数学的学习，站在中考的角度看数学思想的重要性甚至超过线段的动点问题。本本专题主要介绍线段相关的动点问题（与中点、和差倍分结合的动点问题；存在性（探究性）问题；阅读理解（新定义）等）和四种数学思想（分类讨论思想、整体思想、数形结合思想、方程思想）。 1、知识储备 考点1. 线段中点有关的动点问题 考点2. 线段和差倍分关系中的动点问题 考点3. 线段上动点问题中的存在性（探究性）问题 考点4. 阅读理解型（新定义）问题 考点5. 分类讨论思想 考点6. 数形结合思想 考点7. 整体思想 考点8. 方程思想 2、经典基础题 3、优选提升题 1.在与线段长度有关的问题中，常常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设列方程； 2.线段等量代换模型： 若，则，即 3.定和型中点模型： 若，分别是，的中点，则 线段的动点问题解题步骤： 1.设入未知量t表示动点运动的距离；2.利用和差（倍分）关系表示所需的线段； 3.根据题设条件建立方程求解；4.观察运动位置可能的情况去计算其他结果。 考点1. 线段中点有关的动点问题 变式1．（2022·贵州铜仁·七年级期末）如图1，已知点C在线段AB上，线段AC＝10厘米，BC＝6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点．（1）求线段MN的长度．（2）根据第（1）题的计算过程和结果，设AC＝a，BC＝b，其他条件不变，求MN的长度．（3）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B，点Q以1cm/s的速度沿AB向左运动，终点为A，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．设点P的运动时间为t（s）．当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，直接写出时间t． 【答案】（1）MN=8厘米；（2）MN=a+b；（3）所求时间t为4或或． 【分析】（1）（2）根据线段中点的定义、线段的和差，可得答案； （3）当C、P、Q三点中，有一点恰好是以另外两点为端点的线段的中点时，可分四种情况进行讨论：①当0＜t≤5时，C是线段PQ的中点；②当5＜t≤时，P为线段CQ的中点；③当＜t≤6时，Q为线段PC的中点；④当6＜t≤8时，C为线段PQ的中点．根据线段中点的定义，可得方程，进而求解． 【详解】解：（1）∵线段AC=10厘米，BC=6厘米，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC=5厘米，CN=BC=3厘米，∴MN=MC+CN=8厘米； （2）∵AC=a，BC=b，点M，N分别是AC，BC的中点， ∴MC=AC=a，CN=BC=b，∴MN=MC+CN=a+b； （3）①当点P在线段AC上，即0＜t≤5时，C是线段PQ的中点，得10-2t=6-t，解得t=4； ②当点P在线段BC上，即5＜t≤时，P为线段CQ的中点，2t-10=16-3t，解得t=； ③当点Q在线段BC上，即＜t≤6时，Q为线段PC的中点，6-t=3t-16，解得t=； ④当点Q在线段AC上，即6＜t≤8时，C为线段PQ的中点，2t-10=t-6，解得t=4（舍）， 综上所述：所求时间t为4或或． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，两点间的距离，利用线段中点的定义得出关于t的方程是解题关键，要分类讨论，以防遗漏． 变式1．（2022·广东·七年级期中）如图，已知数轴上点表示的数为8，是数轴上一点，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒： （1）写出数轴上点表示的数为______，点表示的数为______ （用含的代数式表示）； （2）动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发，问点运动多少秒时追上点？（3）若为的中点，为的中点，点在运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请你画出图形，并求出线段的长． 【答案】（1）-6，；（2）点运动7秒时追上点；（3）线段的长度不发生变化，其值为7 【分析】（1）根据点表示的数和AB的长度即可求解；（2）根据题意列出方程，求解即可；（3）分类讨论即可：①当点在点、两点之间运动时，②当点运动到点的左侧时，根据中点的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数为8，且， ∴点表示的数为，点P表示的数为，故答案为：-6，； （2）设点、同时出发，点运动时间秒追上，依题意得，，解得， ∴点运动7秒时追上点； （3）线段的长度没有发生变化都等于7；理由如下： ①当点在点、两点之间运动时： ， ②当点运动到点的左侧时： ，∴线段的长度不发生变化，其值为7． 【点睛】本题考查数轴上的动点问题，掌