4.3.1等比数列的概念（第二课时）（教案+练习）-【高效课堂】2022-2023学年高二数学同步精品备课（人教A版2019选择性必修第二册）

等比数列的概念第二课时 1.课时教学内容 等比数列的概念 2.课时学习目标 (1) 能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题。 (2) 能够运用等比数列的性质解决有关问题。 3.教学重点与难点 重点∶运用等比数列解决简单的实际问题。 难点∶等比数列的综合运用。 4.教学过程设计 环节一 温故知新 等比数列 等差数列 定义 公比（差） 不可以为0 可以为任意数 等比（差）中项 等比中项 等差中项 通项公式 性质() 环节二 例题讲解： 例1.用10000元购买某个理财产品一年。 （1）若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ （2）若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ 分析：复利是指把前一期的利息与本金之和算作本金，再计算下一期的利息.所以若原始本金为元，每期的利率为，则从第一期开始，各期的本利和, ，…构成等比数列. 解：（1）设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列， 则是等比数列， 首项，公比， 所以. 所以，12个月后的利息为（元）. （2）设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则也是一个等比数列， 首项 ，公比为， 于是 . 因此，以季度复利计息，存4个季度后的利息为 元. 解不等式，得. 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解． 跟踪训练1. 2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a， 甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%. (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1， 解得n＝2， 故到2019年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝5，则a5＝16a4＋25a4<2(16a＋25a)， 故到2021年不能翻一番 例2. 已知数列的首项. （1）若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； （2）若为等比数列，公比，证明数列为等差数列 分析：根据题意，需要从等差数列、等比数列的定义出发，利用指数、对数的知识进行证明。 证明（1）：由，，得的通项公式为 . 设，则 ： ， 又 , 所以，是以 27为首项，9为公比的等比数列. 证明（2）：由, ,得 两边取以3为底的对数，得 所以 .又 ， 所以，是首项为1，公差为的等差数列. 是等差数列，则数列是等比数列； 2.若数列是各项均为正的等比数列，则数列是等差数列 例3.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高，产品合格率比前一个月增加，那么生产该产品一年后，月不合格品的数量能否控制在100个以内？ 分析：设从今年1月起各月的产量及合格率分别构成数列，,则各月不合格品的数量构成数列，由题意可知，数列是等比数列，数列是等差数列,由于数列既非等差数列又非等比数列，所以可以先列表观察规律，再寻求问题的解决方法. 解：（1）设从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，由题意，知 ， 则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 （ ） 由计算工具计算（精确到0.1），并列表 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且<100即可. 由 ， 得. 所以，当时，递减 又 <100, 所以当24时, <100 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内 环节三 当堂检测： 1．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数. 一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定，假定某种传染病的基本传染数=3，那么感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为（ ） 注：初始感染者传染个人为第一轮传染，这个人再传染个人为第二轮感染。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】设经过第轮传染，感染人数为， 经过第一轮感染后，，经过第二轮感染后，，于是可以得知经过传染，每一轮感染总人数构成等比数列，所以经过第轮传染，感染人数为，当时，解得， 因此感染人数由1个初始感染者增加到2000人大约需要的传染轮数为6轮. 2．已知等比数列的各项均为正数，且，则