4.3 组 合-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.3　组　合 1.组合的概念 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,不论次序地构成一组,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. [思考1] 怎样理解组合?它与排列有何区别? 提示:①组合要求n个元素是不同的,被取的m个元素也是不同的,即从n个不同的元素中进行m次不放回的抽取. ②取出的m个元素不讲究顺序,也就是说元素没有位置的要求,无序性是组合的特点. ③辨别一个问题是排列问题还是组合问题,关键看选出的元素与顺序是否有关,若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响,则是排列问题,否则就是组合问题. 2.组合数的概念 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同组合的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号表示. [思考2] 如何理解组合与组合数这两个概念? 提示:同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样,“组合”与“组合数”也是两个不同的概念.“组合”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素合成一组”,它不是一个数,而是具体的一件事;“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同元素的所有不同组合的个数”,它是一个数. 3.组合数公式及其性质 (1)公式:===. (2)性质:=. (3)规定:=1. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)从3,5,7,11中任取两个数相除属于组合问题.(　×　) (2)由于组合数的两个公式都是分式,所以结果不一定是整数.(　×　) (3)区别组合与排列的关键是看问题元素是否与顺序有关.(　√　) 2.下列是组合问题的有(　C　) ①从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查,有多少种不同的选法? ②从甲、乙、丙3名同学中选出2名,有多少种不同的选法? ③有4张电影票,要在7人中确定4人去观看,有多少种不同的选法? ④某人射击8枪,命中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,不同的结果有多少种? A.①② B.①③④ C.②③④ D.①②③④ 3.从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛,不同选法的种数为(　C　) A.504 B.729 C.84 D.27 　组合的概念 [例1] (1)下列各事件是组合问题的是　　　　(填序号).  ①10支球队以单循环进行比赛,这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能? ②从10个人里选3个代表去开会,有多少种选法? ③从10个人里选出3个不同学科的课代表,有多少种选法? (2)从5个不同元素a,b,c,d,e中任取 2个,写出所有不同的组合. (1)解析:①是排列问题,因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军不一样,有顺序的区别. ②是组合问题,因为3个代表之间没有顺序的区别. ③是排列问题,因为3个人中,担任哪一科的课代表有顺序的区别. 答案:② (2)解:要写出所有的组合,首先要把元素按一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出,如图所示. 因此可得所有组合为ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de. 区分排列与组合问题,根据排列与组合的定义进行判断,先确定完成的是什么事件,然后看问题是否与顺序有关,与顺序有关的是排列,与顺序无关的是组合. [变式训练1] 判断下列问题是组合问题还是排列问题. (1)集合{0,1,2,3,4}的含三个元素的子集的个数是多少? (2)用没有任何三点共线的五个点可以连成多少条线段?如果连成有向线段,共有多少条? (3)某小组有9名同学,从中选出正、副班长各一名,有多少种不同的选法?若从中选出2名代表参加一个会议,有多少种不同的选法? 解:(1)由于集合中的元素是没有次序的,一个含三个元素的集合就是一个从集合{0,1,2,3,4}中取出3个数的组合.这是一个组合问题. (2)从五个点中取两个点恰好连成一条线段,不用考虑这两个点的次序,所以是组合问题. 当为有向线段时,需考虑两个点的次序,所以是排列问题. (3)选正、副班长时要考虑次序,所以是排列问题.选代表参加会议是不用考虑次序的,所以是组合问题. 　组合数公式 [例2] 解不等式:>. 解:由>得 ⇒⇒又n∈N+, 所以原不等式的解集为{6,7,8,9}. (1)在利用组合数公式进行计算、化简时,要灵活选择组合数公式. (2)组合数公式=的主要作用:一是计算m,n较大时的组合数;二是对含有字母的组合数的式子进行变形和证明. (3)关注组合数中的隐含条件:m≤n,且m,n∈N+,求解时应检验其结果是否满足这一条件. [变式训练2-1] (多选题)下列关系中,能成立的是(　　 ) A.= B.= C.m!= D.+m= 解析:对于A,令n=3,m=1,可得等式=不成立,故A错误; 对于B,利用组合数的计算公式知正确,故B正确; 对于