4.2 排 列-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.2　排　列 1.排列的概念 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. [思考1] 如何判断一个问题是排列问题? 提示:判断一个问题是否为排列问题的依据是,是否与顺序有关,与顺序有关且是从n个不同元素中任取m(m≤n)个不同元素的问题就是排列问题,而判断它是否有顺序的依据是变换元素的位置,看其结果是否有变化,有变化就是有顺序,无变化则无顺序. 2.相同排列的两个条件 (1)两个排列的元素完全相同. (2)元素的排列顺序完全相同. 3.排列数与排列数公式 排列数定 义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,所有不同排列的个数叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数,用符号表示 全排列 的概念 从n个不同元素中取出n个不同的元素(即全部取出)排成一列,叫作n个元素的一个全排列 阶乘的 概念 把n·(n-1)·…·2·1记作n!,叫作n的阶乘 排列数 公式 =n(n-1)…(n-m+1) 阶乘式= (n,m∈N+,m≤n) 特殊情况 =n!,1!=1, 0!=1 [思考2] 排列与排列数有何区别? 提示:“一个排列”是指从n个不同的元素中任取m(m≤n)个不同的元素,按照一定的顺序排成一列,不是数;“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素的所有排列的个数,是一个数.所以符号只表示排列数,而不表示具体的排列. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)由于排列数的阶乘式是一个分式,所以其化简的结果不一定是整数.(　×　) (2)在排列的问题中,总体中的元素可以有重复.(　×　) (3)用1,2,3这三个数字组成无重复数字的三位数.123与321是不相同的排列.(　√　) (4)若=10×9×8×7×6,则n=10,m=6.(　×　) 2.4×5×6×…×(n-1)×n等于(　D　) A. B. C.(n-4)! D. 3.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,在这些问题中,有几种运算可以看作排列问题?(　C　) A.1 B.3 C.2 D.4 　排列的概念 [例1] 下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10个人中选2人分别去种树和扫地; ②从10个人中选2人去扫地; ③从班上30名男生中选出5人组成一个篮球队; ④从数字5,6,7,8中任取两个不同的数作幂运算. A.①④ B.①② C.③④ D.①③④ 解析:②③选出的人与顺序无关,因此只有①④是排列.故选A. 判断是不是排列问题,要抓住排列的本质特征: (1)取出的元素无重复. (2)取出的元素必须按顺序排列. 元素有序还是无序是判断的关键. [变式训练1] 判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位,要求选出3个座位,有多少种方法?若选出3个座位安排三位客人,又有多少种方法? (2)从集合M={1,2,…,9}中,任取两个元素作为a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程+=1?可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程-=1? (3)平面上有5个点,其中任意三个点不共线,这5个点最多可确定多少条直线?可确定多少条射线? 解:(1)第一问不是排列问题,第二问是排列问题. “入座”问题同“排队”问题,与顺序有关,故选3个座位安排三位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题,第二问是排列问题. 若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有a>b,a,b的大小关系一定;在双曲线-=1中,不管a>b还是a<b,方程-=1均表示焦点在x轴上的双曲线,且是不同的双曲线,故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题,确定射线是排列问题. 　排列数公式 [例2] (1)用排列数表示(55-n)(56-n)·…·(69-n)(n∈N+且n<55); (2)计算; (3)解方程=100. 解:(1)因为55-n,56-n,…,69-n中的最大数为69-n, 且共有69-n-(55-n)+1=15(个), 所以(55-n)(56-n)·…·(69-n)=. (2)= =. (3)原方程可化为 2x(2x-1)(2x-2)=100x(x-1), 因为x≠0且x≠1,所以2x-1=25, 解得x=13,经检验,x=13是原方程的根. 排列数的计算方法 (1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行,应用时注意:连续正整数的乘积可以写成某个排列数,其中最大的是排列元素的总个数,而正整数(因式)的个数是选取元素的个数,这是排列数公式的逆用. (2)应用排列数公式的阶乘形式时,一般写出它们的式子后,再提取公因式,然后计算,这样往往会减少运算量. [变式训练2] 求3=4中的x. 解:原方程3=4