课时测评40 排列与排列数-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套练习（湘教版）

课时测评40　排列与排列数 (时间：60分钟　满分：110分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1—8小题，每小题5分，共40分) 1.(多选)下面问题中，不是排列问题的是(　　) A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数 B.从40人中选5人组成篮球队 C.从100人中选2人抽样调查 D.从1，2，3，4，5中选2个数组成集合 答案：BCD 解析：选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关. 2.89×90×91×92×…×100可表示为(　　) A.　　　 B.　　　 C.　　　 D. 答案：C 解析：89×90×91×92×…×100＝＝＝. 3.已知－＝10，则n的值为(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B 解析：由－＝10，得(n＋1)n－n(n－1)＝10，解得n＝5. 4.2022北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为(　　) A.12 B.24 C.36 D.60 答案：D 解析：由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种). 5.甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为(　　) A.6 B.4 C.8 D.10 答案：B 解析：列树形图如下： 故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种. 6.＝　　　　. 答案：36 解析：＝＝36. 7.满足不等式＞12的最小正整数n的值为　　　　. 答案：10 解析：＝＝＞12 得：(n－5)(n－6)＞12. 解得： n＞9或n＜2(应舍去). 8.从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成　　　　个以b为首的不同的排列，它们分别是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 答案：12　bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed 解析：画出树形图如下： 可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 9.(10分)(1)用排列数表示(55－n)(56－n)…(69－n)(n∈N＋且n＜55)； (2)计算； (3)求证－＝m. 解：(1)因为55－n，56－n，…，69－n中的最大数为69－n，且共有69－n－(55－n)＋1＝15个元素， 所以(55－n)(56－n)…(69－n)＝. (2) ＝ ＝＝1. (3)证明：法一：因为－＝－ ＝·＝· ＝m·＝m， 所以－＝m. 法二：表示从n＋1个元素中取出m个元素的排列个数，其中不含元素a1的有个. 含有a1的可这样进行排列： 先排a1，有m种排法，再从另外n个元素中取出m－1个元素排在剩下的m－1个位置上，有种排法. 故＝m＋， 所以m＝－. 10.(10分)判断下列问题是否为排列问题. (1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1？ (3)平面上有5个点，其中任意三个点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？可确定多少条射线？ 解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.“入座”问题同“排队”问题，与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题. (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题.若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题. (3)确定直线不是排列问题，确定射线是排列问题. (11—13小题，每小题5分，共15分) 11.已知自然数x满足3＝2＋6，则x＝(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解析：因为自然数x满足3＝2＋6， 所以3(x＋1)x(x－1)＝2(x＋2)(x＋1)＋6(x＋1)x，由x是正自然数，整理得：3x2－11x－4＝0，解得x＝－(舍)或x＝4，所以x＝4. 12.一个三位数，其十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字(如735，414等)，那么，这样的三位数共有(　　) A.240个 B.249个 C.285个 D.330个 答案：C 解析：因为十位上的数字既小于百位上的数字也小于个位上的数字， 所以当十位数字是0时有9×9＝81种结果， 当十位数字是1时有8×8＝64种结果， 当十位数字是2时有7×7＝49种结果， 当十位数字是3时有6×6＝36种结果， 当十位数字是4时有5×5＝25种结果， 当十位数字是5时有4×4＝16种结果， 当十位数字是6时有3×3＝9种结果， 当十位数字是7时有2×2＝4种结果， 当十位数字是8时有1种结果， 所以共有81＋64＋49＋36＋25＋16＋9＋4＋1＝285种结果. 13.已知a∈{3，4，5}，b∈{1，2，7，8}，r∈{8，9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同圆的个数为　　　个. 答案：24 解析：确定圆的方程可分三步：确定a有3种方法，确定b有4种方法，确定r有2种方法，由分步乘法计数原理知N＝3×4×2＝24(个). 14.(13分)从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同的数字排成一个三位数. (1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数. (2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数. 解：(1)组成三位数分三个步骤： 第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法. 由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18(个)不同的三位数. 画出下列树形图： 由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. (2)直接画出树形图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个：201，210，230，231，301，302，310，312. 15.(5分)(多选)下列各式中与排列数相等的是(　　) A.　　　　 B.n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D.· 答案：AD 解析：因为＝， 而·＝n·＝， 所以＝·.故选AD. 16.(17分)某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5，4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药只能同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法. 解：如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种. 学生用书⬇第116页 学科网（北京）股份有限公司 $