3.4 曲线与方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

3.4　曲线与方程 1.曲线的方程与方程的曲线 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点,此时,这个方程叫作曲线的方程,这条曲线叫作方程的曲线. [思考1] 如果曲线与方程仅满足“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”,会出现什么情况?举例说明. 提示:如果曲线与方程仅满足“以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上”,有可能扩大曲线的边界.如方程y=表示的曲线是半圆,而非整圆. [思考2] 如果曲线C的方程是F(x,y)=0,那么点 P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是什么? 提示:若点P在曲线C上,则F(x0,y0)=0;若F(x0,y0)=0,则点P在曲线C上,所以点P(x0,y0)在曲线C上的充要条件是F(x0,y0)=0. 2.求曲线方程的步骤 [思考3] 在平面直角坐标系中,第一、第三象限角平分线l与方程x-y=0有什么关系? 提示:设M(x0,y0)是第一、三象限角平分线上的任意一点,它到两坐标轴的距离相等,即x0=y0,那么点(x0,y0)是方程x-y=0的解. 反过来,如果M(x0,y0)是方程x-y=0的解,即x0=y0,那么点M到两坐标轴的距离相等,它一定在这条直线l上. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)若以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线上,则方程f(x,y)=0,即为曲线C的方程.(　×　) (2)方程x+y-2=0是以A(2,0),B(0,2)为端点的线段的方程.(　×　) (3)在求曲线方程时,对于同一条曲线,建立的坐标系不同,所得的曲线方程也不同.(　√　) (4)求轨迹方程就是求轨迹.(　×　) 2.点P(a+1,a+4)在曲线y=x2+5x+3上,则a的值为(　B　) A.1或-5 B.-1或-5 C.-2或3 D.2或-3 3.方程y=|x|所表示的曲线为(　D　) A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线 D.两条射线 　曲线与方程的概念 [例1] (1)(多选题)命题“曲线C上的点的坐标都是方程 f(x,y)=0的解”是正确的,则下列命题中不正确的是(　　) A.方程f(x,y)=0表示的曲线是C B.方程f(x,y)=0表示的曲线不一定是C C.f(x,y)=0是曲线C的方程 D.以方程f(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上 (2)分析下列曲线上的点与相应方程的关系. ①过点A(2,0)且平行于y轴的直线与方程 |x|=2之间的关系; ②到两坐标轴的距离之积等于5的点与方程 xy=5之间的关系. (1)解析:根据方程的曲线和曲线的方程的定义知A,C,D错误.故选ACD. (2)解:①过点A(2,0)且平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|=2的解,但以方程|x|=2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上.因此|x|=2不是过点A(2,0)且平行于y轴的直线的方程. ②到两坐标轴的距离之积等于5的点的坐标不一定满足方程xy=5,但以方程xy=5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此到两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy=5. (1)解决“曲线”与“方程”的判定这类问题(即判定方程是不是曲线的方程或判定曲线是不是方程的曲线),只要一一检验定义中的两个条件是否都满足,并作出相应的回答即可. (2)判断点是否在曲线上,就是判断点的坐标是否适合曲线的方程. [变式训练1] (1)已知坐标满足方程f(x,y)=0的点都在曲线C上,那么(　　) A.曲线C上的点的坐标都适合方程 f(x,y)=0 B.凡坐标不适合f(x,y)=0的点都不在曲线C上 C.不在曲线C上的点的坐标必不适合方程 f(x,y)=0 D.不在曲线C上的点的坐标有些适合方程 f(x,y)=0,有些不适合方程f(x,y)=0 (2)已知方程x2+(y-1)2=10. ①判断点P(1,-2),Q(,3)是否在此方程表示的曲线上; ②若点M(,-m)在此方程表示的曲线上,求实数m的值. (1)解析:根据曲线的方程的定义知C正确.故选C. (2)解:①因为12+(-2-1)2=10,()2+(3-1)2=6≠10, 所以点P(1,-2)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上,点Q(,3)不在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上. ②因为点M(,-m)在方程x2+(y-1)2=10表示的曲线上, 所以x=,y=-m适合方程x2+(y-1)2=10,即()2+(-m-1)2=10. 解得m=2或m=-. 故实数m的值为2或-. 　根据方程研究曲线