4.4 二项式定理-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.4　二项式定理 1.二项式定理 (a+b)n=an+an-1b+…+an-rbr+…+bn(n∈N+). 上述公式称为二项式定理. 等号右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式,一共有n+1项. 各项的系数(其中0≤r≤n,r∈N,n∈N+)叫作二项式系数. 2.二项展开式的通项 (a+b)n展开式的第r+1项叫作二项展开式的通项,记作Tr+1=an-rbr. [思考1] 二项式定理中,项的系数与二项式系数相同吗,为什么? 提示:二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念.二项式系数是指,,…,,它只与各项的项数有关,而与a,b的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分,它不仅与各项的项数有关,而且也与a,b的值有关. [思考2] 二项式(a+b)n与(b+a)n展开式中第k+1项是否相同? 提示:不同.(a+b)n展开式中第k+1项为an-k·bk,而(b+a)n展开式中第k+1项为bn-kak. 3.二项式系数的性质 (1)对称性:在二项展开式中,与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等,即=. (2)单调性和最大值:二项式系数从两端向中间逐渐增大,且当n是偶数时,中间一项的二项式系数最大;当n是奇数时,中间两项的二项式系数,相等并且最大. (3)各二项式系数的和即+++…+=2n. [思考3] 如何证明-+-+…+(-1)n·=0. 提示:令二项展开式中的a=1,b=-1,即可得到要证明的结论. 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”). (1)(a+b)n展开式中共有n项.(　×　) (2)在公式中,交换a,b的顺序对各项没有影响.(　×　) (3)an-kbk是(a+b)n展开式中的第 k项.(　×　) (4)二项展开式中项的系数与二项式系数是相等的.(　×　) 2.(x-)n的展开式共有11项,则n 等于(　B　) A.9 B.10 C.11 D.8 3.已知(1+2x)8展开式的二项式系数的最大值为a,系数的最大值为b,则的值为(　A　) A. B. C. D. 　二项式定理的正用与逆用 [例1] 求(2+)4的展开式. 思路点拨:可直接用二项式定理展开或先对括号内式子化简再展开. 解:法一　直接利用二项式定理展开并化简. (2+)4=(2)4()0+(2)3·()1+·(2)2·()2+(2)1·()3+·(2)0·()4=16x2+32x+24++. 法二　(2+)4=()4=(2x+1)4=·[(2x)4·10+·(2x)3·11+·(2x)2·12+(2x)1·13+·(2x)0·14]=(16x4+32x3+24x2+8x+1)=16x2+32x+24++. (1)形式简单的二项式展开时可直接利用二项式定理展开,对于形式较复杂的二项式,在展开之前可以根据二项式的结构特点进行必要的变形,然后再展开,以使运算得到简化.记准、记熟二项式(a+b)n的展开式是解答好与二项式定理有关的问题的前提. (2)逆用二项式定理要注意二项展开式的结构特点,a的指数是从高到低,b的指数是从低到高,a,b的指数和都相等,如果项的系数是正负相间,则是(a-b)n的形式. [变式训练1] (1)求(2x-)5的展开式; (2)化简(2x+1)5-5(2x+1)4+10(2x+1)3-10(2x+1)2+5(2x+1)-1. 解:(1)法一　(2x-)5=·(2x)5-·(2x)4·+·(2x)3·()2-·(2x)2·()3+·(2x)·()4-·()5=32x5-80x2+-+-. 法二　(2x-)5=[(2x3-1)] 5=-(1-2x3)5=-[1-(2x3)1+(2x3)2-(2x3)3+(2x3)4-(2x3)5]=-+-+-80x2+32x5. (2)原式=(2x+1)5-(2x+1)4+(2x+1)3-(2x+1)2+(2x+1)1-(2x+1)0=(2x+1-1)5=(2x)5=32x5. 　求二项展开式的特定项 [例2] 已知(-)n展开式中第3项的系数比第2项的系数大162. (1)求n的值; (2)求展开式中含x3的项,并指出该项的二项式系数. 解:(1)因为T3=()n-2(-)2=4, T2=()n-1(-)=-2, 依题意得4+2=162,所以2+=81, 所以n2=81,n=9. (2)设第r+1项含x3项, 则Tr+1=()9-r(-)r=(-2)r, 令=3,则r=1, 所以第2项为含x3的项, T2=-2x3=-18x3,二项式系数为=9. (1)求二项展开式的特定项的常见题型如下. ①求第k项,Tk=an-k+1bk-1. ②求含xk的项(或xpyq的项). ③求常数项. ④求有理项. (2)求二项展开式的特定项的常用方法如下. ①对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0