4.4 数学归纳法-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 4.4* 数学归纳法 榆次一中 数学教研组 1 学习目标 1.了解数学归纳法的原理.（数学抽象、逻辑推理） 2.掌握数学归纳法的步骤.（逻辑推理） 3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.（逻辑推理） 返回至目录 2 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 3 1.如果你从袋子里拿出5个小球，发现全部都是绿色的，那么能否判断袋子里面的小球都是绿色的？ [答案] 不能.通过考察部分对象，得到一般的结论的方法，叫不完全归纳法.不完全归纳法得到的结论不一定正确.例如，在数学上有费马猜想、哥德巴赫猜想等，他们所用的就是不完全归纳法，至于最终的结论能否成立，只能留给你们了. 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 4 2.对于数列 <m></m> ，已知 <m></m> ， <m></m> ，通过对 <m></m> , <m></m> , <m></m> , <m></m> 前4项的归纳，猜出其通项公式为 <m></m> .而在教材第45页中，根据多米诺骨牌游戏的原理给出证明，说明猜想是正确的，其证明步骤是什么？ [答案] ①验证当 时，猜想成立；②假设当 时，猜想成立，然后证明当 时，猜想也成立，从而证明原猜想正确. 返回至目录 5 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 与正整数 有关的数学命题的证明只能用数学归纳法.( ) × （2） 数学归纳法的第一步 的初始值一定为1.( ) × （3） 数学归纳法的两个步骤缺一不可.( ) √ 自学检测 返回至目录 6 2.用数学归纳法证明：首项是 ，公差是 的等差数列的前 项和公式是 ，假设当 时，公式成立，则 ( ). A. B. C. D. C [解析] 假设当 时，公式成立，只需把公式中的 换成 即可，即 . 返回至目录 7 3.用数学归纳法证明： ，假设当 时，不等式成立，则当 时，应推证的目标不等式是_ ____________________________________. <m></m> . 4.用数学归纳法证明等式“ ”，第一步验证当 时，左边应取的项是_______________. <m></m> [解析] 当 时，左边 . 返回至目录 8 探究1 数学归纳法 问题：在多米诺骨牌游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ [答案] 使多米诺骨牌全部倒下需要以下两个条件：（1）第一块骨牌倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下. 情境设置 合作探究·提素养 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 9 新知生成 一般地,证明一个与正整数 有关的命题,可按下列步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；（2）（归纳递推）以“当 时命题成立”为条件,推出“当 时命题也成立”.只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从 开始的所有正整数 都成立.这种证明方法叫作数学归纳法. 返回至目录 10 新知运用 例1 用数学归纳法证明“ ”，则当 时，应当在 时对应的等式的左边加上( ). A. B. C. D. A 方法指导 先确定当 <m></m> 时等式左端的代数式，再确定当 <m></m> 时等式左端的代数式，进而确定其应当在 <m></m> 时对应的等式的左边加上的代数式. [解析] 当 时，等式左端 ， 当 时，等式左端 .故选A. 返回至目录 11 方法总结 用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清 取第一个值 时等式两端项的情况；二是弄清从 到 等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明 时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝 证明目标的表达式变形. 返回至目录 12 证明： . [解析] ①当 时，左边 ，右边 ，等式成立. ②假设当 时等式成立，即 ， 那么，当 时， . 根据①和②，可知等式对任何 都成立. 巩固训练 返回至目录 13 探究2 用数学归纳法证明不等式 例2 已知正项数列 <m></m> 中， <m></m> ， <m></m> ，用数学归纳法证明： <m></m> . 方法指导 直接利用数学归纳法的证明步骤，通过 <m></m> 验证不等式成立，假设 <m></m> 时不等式成立，证明 <m></m> 时不等式也成立即可. [解析] ①当 时， ， ， 所以 时，不等式成立； 返回至目录 14 ②假设当 时， 成立，则当 时，