4.3 等比数列（课时3-4 等比数列的前n项和公式、性质及应用）-2022-2023学年高二数学同步高效课堂重难点讲练课件（人教A版2019选择性必修第二册）

第四章 数列 4.3 等比数列 榆次一中 数学教研组 1 课时3 等比数列的前 项和公式、性质及应用 2 学习目标 1.掌握等比数列的前 项和公式与应用.（逻辑推理、数学运算） 2.能运用等比数列的前 项和公式解决一些简单的实际问题.（逻辑推理、数学运算） 返回至目录 3 自主预习·悟新知 合作探究·提素养 随堂检测·精评价 4 1.公比为1的等比数列的前 <m></m> 项和 <m></m> 如何计算？ [答案] 当 时， ， 所以 . 2.当 <m></m> 时，如何计算等比数列的前 <m></m> 项和 <m></m> ？ [答案] 利用公式 计算. 预学忆思 自主预习·悟新知 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 5 3.当等比数列的公比为字母时，求 <m></m> 的前 <m></m> 项和要注意什么？ [答案] 若等比数列的公比为字母，应用公式求其前 项和时要注意讨论公比是否为1，分情况选取合适的公式来解答. 返回至目录 6 1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”） （1） 求等比数列 的前 项和时可直接套用公式 来求.( ) × （2） 若首项为 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 项和为 .( ) √ （3） 若某数列的前 项和公式为 （ ， 且 ， ），则此数列一定是等比数列.( ) √ 自学检测 返回至目录 7 2.在等比数列 中， ， ，则 ______. 31 [解析] . 3.某厂去年产值为 ，计划在5年内每年比上一年的产值增长 ，则从今年起5年内，该厂的总产值为________________. <m></m> [解析] 去年产值为 ，从今年起5年内各年的产值分别为 , , , , ，所以 . 返回至目录 8 探究1 等比数列前 项和公式 问题1：等比数列前 <m></m> 项和公式的推导除了教材中用的错位相减法，还有其他的方法吗？ 情境设置 合作探究·提素养 YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL 返回至目录 9 [答案] 有.当 时， .当 时，根据等比数列的定义，可知 ， 所以 , , , ，即 ， 所以 ，即 ， 所以 . 把 代入 ，可得 . 返回至目录 10 问题2：类比等差数列前 <m></m> 项和是关于 <m></m> 的二次型函数，如何从函数的角度理解等比数列前 <m></m> 项和 <m></m> ? [答案] 当 时， ，即等比数列 的前 项和可以写成 的形式，所以可把等比数列前 项和 理解为关于 的指数型函数. 返回至目录 11 新知生成 等比数列的前 项和 已知量 首项 、公比 与项数 首项 、末项 与公比 首项 、公比 求和公式 返回至目录 12 新知运用 例1 在等比数列 中， 为其前 项和， 为其公比. （1）若 ， ，求 ； （2）若 ， ，求 ； （3）若 ， ， ，求 . [解析] （1）由题意知 解得 或 所以 或 . 返回至目录 13 （2）（法一）由题意知 解得 所以 . （法二）由 ，得 ，所以 . 又 ，所以 ，所以 . （3）因为 ， ，所以 ， 是方程 的两根. 得 或 又 ，所以 或 . 返回至目录 14 方法总结 1.在等比数列 的五个量 ， ， ， ， 中，已知其中的三个量，通过列方程组，就能求出另外两个量，这是方程思想与整体思想在数列中的具体应用. 2.在解决与前 项和有关的问题时，首先要对公比 或 进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论. 返回至目录 15 在等比数列 中， 为其前 项和， 为其公比. （1）若 ，求 ； （2）若 ， ， ，求 和 . [解析] 设数列 的首项为 ，公比为 . （1） ， ， . . 巩固训练 返回至目录 16 （2）（法一）由 ， 及已知条件，得 解得 （法二）由公式 及已知条件， 得 ，解得 . 又由 ， 得 ，解得 . 返回至目录 17 探究2 等比数列前 项和的性质 已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 . 问题1：当 <m></m> 时，从函数的角度分析 <m></m> 关于 <m></m> 的解析式对应的函数模型是什么？ [答案] 若 ，则 ，其中 . 故等比数列 关于 的解析式对应的函数模型是 ． 情境设置 返回至目录