【技巧归纳+能力拓展】专项训练三 概率与统计（考点3 随机变量的分布列、期望与方差）-备战2023年高考数学二轮复习《大题拆小做 题型轻松过》专项训练（新高考专用）

新高考数学 大题专项训练 学科精品资源 专项三 概率与统计 考点3 随机变量的分布列、期望与方差 大题 拆解技巧 【母题】(2021年新高考全国Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关. (1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列. (2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 【拆解1】已知条件不变,若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列. 【拆解2】已知X的分布列如下表所示: X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 求E(X). 【拆解3】已知条件不变,若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,且E(X)=54.4,为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由. 小做 变式训练 为落实中央“坚持五育并举,全面发展素质教育,强化体育锻炼”的精神,某高中学校鼓励学生自发组织各项体育比赛活动,甲、乙两名同学利用课余时间进行乒乓球比赛,规定:每一局比赛中获胜方记1分,失败方记0分,没有平局,首先获得5分者获胜,比赛结束.假设每局比赛甲获胜的概率都是. (1)求比赛结束时恰好打了6局的概率; (2)当甲以3∶1的比分领先时,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列及数学期望. 【拆解1】已知条件不变,比赛结束时恰好打了6局,求甲获胜的概率. 【拆解2】已知条件不变,比赛结束时恰好打了6局,甲获胜的概率为P1=,求比赛结束时恰好打了6局的概率. 【拆解3】已知条件不变,若甲以3∶1的比分领先时,记X表示到结束比赛时还需要比赛的局数,求X的分布列. 【拆解4】已知关于X的分布列如下: X 2 3 4 5 P 求X的数学期望. 通法 技巧归纳 求随机变量分布列的主要步骤: (1)明确随机变量的取值,并确定随机变量服从何种概率分布; (2)求每一个随机变量取值的概率; (3)列成分布列.对于抽样问题,要特别注意放回与不放回的区别,一般地,不放回抽样由排列数公式求随机变量对应的概率,放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率. 突破 实战训练 <基础过关> 1.上饶市正在开展2021年“阳光护苗”文明校园创建行动,分为“清网”护苗、“培根”护苗、“关爱”护苗、“雨露”护苗、“法治”护苗五个专项行动.在“培根”护苗方面,为庆祝中国共产党成立100周年,某校计划举行以“唱支山歌给党听”为主题的红歌合唱比赛活动,现有高一1、2、3、4班准备从《唱支山歌给党听》《没有共产党就没有新中国》《映山红》《十送红军》《歌唱祖国》这5首红歌中选取1首作为比赛歌曲,设每班只选择其中1首红歌,且选择任1首红歌是等可能的. (1)求“恰有2个班选择《唱支山歌给党听》”的概率; (2)记随机变量X表示这4个班级共选择红歌的个数(相同的红歌记为1个),求X的分布列与数学期望. 2. 某企业有甲、乙两条生产同种产品的生产线.据调查统计,100次生产该产品所用时间的频数分布表如下: 所用的时间(单位:天) 10 11 12 13 甲生产线的频数 10 20 10 10 乙生产线的频数 5 20 20 5 假设订单A约定交货时间为11天,订单B约定交货时间为12天(将频率视为概率,当天完成即可交货). (1)为尽最大可能在约定时间交货,订单A和订单B应如何选择各自的生产线(订单A,B互不影响); (2)已知甲、乙生产线的生产成本分别为3万元、2万元,订单A,B互不影响,若规定实际交货时间每超过一天就要付5000元的违约金,现订单A,B用(1)中所选的生产线生产产品,记订单A,B的总成本为ξ(万元),求随机变量ξ的期望值. 3.春节是中国人的团圆节,2021年春节期间,某超市为了给“就地过年”的外来务工人员营造温馨的新春佳节氛围,在2月11日至2月17日期间举行购物抽奖活动,活动规定:凡是一次性购物满300元的顾客就可以从装有8个球(其中3个球上写有“牛转乾坤”,另5个球上写有“谢谢惠顾”,每个球除写的字不同外,其他都相同)的抽奖箱中一次性摸出3个球,只有摸到“牛转乾坤”才能获奖,若3个球都是“牛转乾坤”,则获一等奖,奖励20元;