1.2 空间向量在立体几何中的应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.1　空间中的点、直线与空间向量 学习目标 1.能用向量语言表述直线和平面,理解直线的方向向量. 2.能用向量语言表述直线与直线的夹角以及垂直与平行关系. 1.空间中的点与空间向量 一般地,如果在空间中指定一点O,那么空间中任意一点P的位置都可以由向量唯一确定,此时,通常称为点P的位置向量.特别地,空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定,从而也就由它的坐标唯一确定. 2.空间中的直线与空间向量 (1)一般地,如果l是空间中的一条直线,v是空间中的一个非零向量,且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合,则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行,记作v∥l. (2)如果v1是直线l1的一个方向向量,v2是直线l2的一个方向向量,则v1∥v2⇔l1∥l2,或l1与l2重合. 3.空间中两条直线所成的角 (1)空间中两条相交直线所成角的大小,指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小. 两条异面直线a,b所成角的大小,等于两条相交直线a′,b′所成角的大小,其中a′∥a且b′∥b. 空间中两条平行直线所成角的大小规定为0°. 空间中任意两条直线所成角(即它们之间的夹角)的大小都是确定的.特别地,当空间中两条直线l,m所成角的大小为90°时,l与m垂直,记作l⊥m. (2)如果v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量,且l1与l2所成角的大小为θ,则θ=<v1,v2>或θ=π-<v1,v2>;sin θ=sin<v1,v2>或cos θ=|cos<v1,v2>|. l1⊥l2⇔<v1,v2>=⇔v1·v2=0. 4.异面直线与空间向量 (1)设v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量. ①“v1与v2不平行”是“l1与l2异面”的必要不充分条件. ②如果A∈l1,B∈l2,则“v1,v2,不共面”是“l1与l2异面”的充要条件. (2)一般地,如果l1,l2是空间中两条异面直线,M∈l1,N∈l2,MN⊥l1,MN⊥l2,则称MN为l1,l2的公垂线段,两条异面直线的公垂线段的长,称为这两条异面直线之间的距离. 设两直线l,m的方向向量分别为v1,v2,v1=(a1,b1,c1),v2=(a2,b2,c2). (1)l∥m⇔v1∥v2⇔v1=kv2(k∈R)⇔a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2; (2)l⊥m⇔v1⊥v2⇔v1·v2=0⇔a1a2+b1b2+c1c2=0. 　利用直线的方向向量判定线线的位置关系 [例1] 设a,b分别是不重合的直线l1,l2的方向向量,根据下列条件判断l1,l2的位置关系. (1)a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1); (2)a=(5,0,2),b=(0,1,0). 解:(1)因为a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1), 所以a=-2b, 所以a∥b,所以l1∥l2. (2)因为a=(5,0,2),b=(0,1,0), 所以a·b=0,所以a⊥b,所以l1⊥l2. 针对训练:若直线l1,l2的方向向量分别为m=(2,-1,-1),n=(1,1,1),则这两条直线(　　) A.平行 B.垂直 C.异面垂直 D.垂直相交 解析:因为m·n=2×1+(-1)×1+(-1)×1=0,所以m⊥n,所以l1⊥l2.故选B. 利用直线的方向向量判断直线与直线的位置关系是直线的方向向量的基本应用,解决此类问题需注意以下几点: (1)能熟练地判断两向量的共线与垂直. (2)搞清直线的方向向量,平面的法向量和直线、平面位置关系之间的内在联系. (3)将向量问题转化为几何问题时的等价性. 　向量法判断线线平行、垂直 [例2] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱D1D的中点,P,Q分别为线段B1D1,BD上的点,且3=,若PQ⊥AE,=λ,求λ的值. 解: 如图所示,以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),E(0,0,),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1),由题意,可设点P的坐标为(a,a,1), 因为3=, 所以3(a-1,a-1,0)=(-a,-a,0), 所以3a-3=-a, 解得a=,所以点P的坐标为(,,1). 由题意可设点Q的坐标为(b,b,0), 因为PQ⊥AE,所以·=0, 所以(b-,b-,-1)·(-1,0,)=0, 即-(b-)-=0, 解得b=, 所以点Q的坐标为(,,0), 因为=λ, 所以(-1,-1,0)=λ(,,0), 所以=-1,故λ=-4. 变式探究1:若将本例中的PQ⊥AE改为B1Q⊥EQ,其他条件不变,结果如何? 解:以D为原点,,,的方向分别为x轴、y轴,z轴的正方向建立空间