2.7 抛物线及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.7　抛物线及其方程 2.7.1　抛物线的标准方程 学习目标 1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解抛物线的定义和标准方程. 1.抛物线的定义 一般地,设F是平面内的一个定点,l是不过点F的一条定直线,则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线,其中定点F称为抛物线的焦点,定直线l称为抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程 四种抛物线对应的图像、标准方程、焦点坐标及准线方程列表如下: 图像 标准方程 焦点坐标 准线方程 y2=2px (p>0) (,0) x=- y2=-2px (p>0) (-,0) x= x2=2py (p>0) (0,) y=- x2=-2py (p>0) (0,-) y= (1)抛物线的定义的实质可归纳为“一动三定”:一个动点,设为M;一个定点F(抛物线的焦点);一条定直线(抛物线的准线);一个定值(即点M到点F的距离与它到定直线l的距离之比等于1∶1). (2)抛物线标准方程的特点: ①原点在抛物线上;②对称轴为坐标轴;③p为大于0的常数,其几何意义表示焦点到准线的距离;④准线与对称轴垂直,垂足与焦点关于原点对称;⑤焦点、准线到原点的距离都等于. 　抛物线定义的理解及应用 [例1] (2021·江苏高二单元测试)方程(x+y-3)·=0表示的曲线是(　　) A.两条射线 B.抛物线和一条线段 C.抛物线和一条直线 D.抛物线和两条射线 解析:因为(x+y-3)=0, 所以x+y-3=0(y2-4x≥0)或y2=4x, 所以x+y-3=0(x≤1或x≥9)或y2=4x, 所以方程(x+y-3)=0表示的曲线是抛物线和两条射线.故选D. 针对训练:平面上动点P到定点F(1,0)的距离比点P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程. 解:法一　设点P的坐标为(x,y), 则有=|x|+1, 两边平方并化简得y2=2x+2|x|. 所以y2= 即点P的轨迹方程为y2= 法二　由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1, 由于点F(1,0)到y轴的距离为1, 故当x<0时,直线y=0上的点适合条件; 当x≥0时,原命题等价于点P到点F(1,0)与到直线 x=-1 的距离相等,故点P的轨迹是以F为焦点,x=-1 为准线的抛物线,方程为y2=4x.故所求动点P的轨迹方程为y2= 抛物线的判断方法: (1)可以看动点是否符合抛物线的定义,即到定点的距离等于到定直线(直线不过定点)的距离. (2)求出动点的轨迹方程,看方程是否符合抛物线的方程. 　求抛物线的标准方程 [例2] (2021·江苏高二课时练习)根据下列条件求抛物线的标准方程. (1)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点; (2)过点P(2,-4); (3)抛物线的焦点在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5. 解:(1)双曲线方程为-=1,其左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),则抛物线焦点为(-,0),-=-3,解得p=6, 所以所求抛物线的标准方程为y2=-12x. (2)由于P(2,-4)在第四象限,可设方程为y2=mx或x2=ny, 将P点坐标代入方程求得m=8,n=-1, 所以所求抛物线的标准方程为y2=8x或x2=-y. (3)设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为y2=2px(p≠0),A(m,-3),则抛物线的准线为x=-, 由抛物线定义得5=|AF|=,又(-3)2=2pm,显然p,m同号, 从而得或解得p=±1或p=±9, 所以所求抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x. 针对训练:已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值,并写出抛物线的焦点坐标和准线方程. 解:设抛物线方程为y2=-2px(p>0), 则焦点F(-,0), 由题意,得 得 或 所求的抛物线方程为y2=-8x,m=±2.抛物线的焦点坐标为(-2,0),准线方程为x=2. 抛物线标准方程的求法: (1)定义法.建立恰当坐标系,利用抛物线的定义列出动点满足的条件,列出方程,进行化简,根据定义求出p,最后写出标准方程. (2)待定系数法.由于标准方程有四种形式,因而在求方程时应首先确定焦点在哪一个半轴上,进而确定方程的形式,再利用已知条件确定p的值. 　抛物线的实际运用 [例3] 一种卫星接收天线的轴截面如图所示,卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线,经反射聚集到焦点处.已知接收天线的口径(直径)为4.8 m,深度为0.5 m,试建立适当的坐标系,求抛物线的标准方程和焦点坐标. 解: 如图,在接收天线的轴截