2.6 双曲线及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.6　双曲线及其方程 2.6.1　双曲线的标准方程 学习目标 1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. 2.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,以及它们的简单几何性质. 1.双曲线的定义 双曲线的定义一般地,如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个正常数,且2a<|F1F2|,则平面上满足||PF1|-|PF2||=2a的动点P的轨迹称为双曲线,其中,两个定点F1,F2称为双曲线的焦点,两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程 焦点所在 的坐标轴 x轴 y轴 标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0) 图形 焦点 坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a,b,c 的关系式 a2+b2=c2 (1)双曲线的定义. ①关于“小于|F1F2|”:a.若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线(包括端点);b.若将“小于|F1F2|”改为“大于|F1F2|”,其余条件不变,则动点轨迹不存在. ②若将“绝对值”去掉,其余条件不变,则动点的轨迹只有双曲线的一支. ③若常数为零,其余条件不变,则点的轨迹是线段F1F2的中垂线. (2)①双曲线标准方程中的两个参数a和b,确定了双曲线的形状和大小,是双曲线的定型条件,这里b2=c2-a2,即c2=a2+b2,其中c>a,c>b,a与b的大小关系不确定;而在椭圆中b2=a2-c2,即a2=b2+c2,其中a>b>0,a>c,c与b大小不确定. ②如果含x2项的系数为正数,那么焦点在x轴上,如果含y2项的系数是正数,那么焦点在y轴上.对于双曲线,焦点位置与a与b的大小无关系,因而不能像椭圆那样,通过比较a与b的大小来确定其焦点位置. 　双曲线定义的理解及应用 [例1] (1)(2021·北京第十九中学高二期末)已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=2,则动点P的轨迹方程为(　　) A.-=1(x>0) B.-=1 C.-=1(x>0) D.-=1 (2)(2021·山西长治二中高二阶段练习)在平面直角坐标系xOy中,已知圆A:(x+6)2+y2=4,点B(6,0),点P在圆A上运动,设线段PB的垂直平分线和直线PA的交点为Q,则点Q的轨迹方程为(　　) A.x2-=1 B.x2-=1 C.+y2=1 D.+y2=1 解析:(1)因为M(-2,0),N(2,0),所以|MN|=4,动点P满足条件|PM|-|PN|=2<|MN|,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支, 所以c=2,a=, 所以b===, 所以动点P的轨迹方程为-=1(x>0).故选A. (2)圆A的圆心为A(-6,0),半径为r=2,由垂直平分线的性质可得|PQ|=|QB|, 当点P在圆A的右半圆上时,|QA|-|QB|=|PA|+|PQ|-|QB|=|PA|=2<|AB|=12; 当点P在圆A的左半圆上时, |QB|-|QA|=|PQ|-|QA|=|QA|+|PA|-|QA|=|PA|=2<|AB|=12. 所以点Q的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,且2a=2,2c=12, 所以a=1,c=6,所以b==, 因此,点Q的轨迹方程为x2-=1.故选A. 针对训练:若平面内一动点P(x,y)到两定点F1(-1,0),F2(1,0)的距离的差的绝对值为定值a(a≥0),讨论点P的轨迹. 解:由题意可知|F1F2|=2, ①当a=2时,P点的轨迹是两条射线,方程为y=0(x≥1)或y=0(x≤-1); ②当a=0时,P点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线,轨迹方程为x=0; ③当0<a<2时,P点的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线; ④当a>2时,P点的轨迹不存在. 双曲线定义的两种应用: (1)根据双曲线的定义判断动点轨迹时,一定要注意双曲线定义中的各个条件,不要一看到动点到两个定点的距离之差的绝对值是常数,就认为其轨迹是双曲线,还要看该常数是否小于两个已知定点之间的距离且大于零,否则就不是双曲线. (2)巧妙利用双曲线的定义求双曲线的轨迹方程的基本步骤为: ①寻求动点M与定点F1,F2之间的关系. ②根据题目的条件计算是否满足||MF1|-|MF2||=2a(常数,a>0). ③判断.若2a<2c=|F1F2|,满足定义,则动点M的轨迹就是双曲线,且2c=|F1F2|,b2=c2-a2,进而求出相应a,b,c. ④根据定点F1,F2所在的坐标轴写出双曲线的标准方程. 　待定系数法求双曲线的标准方程 [例2] (1)已知双曲线的焦点在y轴上,并且双曲线过点(3,-4)和(,5),