2.5 椭圆及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.5　椭圆及其方程 2.5.1　椭圆的标准方程 学习目标 1.了解椭圆标准方程的推导. 2.理解椭圆的定义及椭圆的标准方程. 3.掌握用定义和待定系数法求椭圆的标准方程. 1.椭圆的定义 如果F1,F2是平面内的两个定点,a是一个常数,且2a>|F1F2|,则平面内满足|PF1|+|PF2|=2a的动点P的轨迹称为椭圆,其中,两个定点F1,F2称为椭圆的焦点,两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距. 2.椭圆的标准方程 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 +=1 (a>b>0) +=1 (a>b>0) 焦点 (-c,0)与(c,0) (0,-c)与(0,c) a,b,c的关系 c2=a2-b2 思考1:确定椭圆的标准方程需要知道哪些量?在椭圆的标准方程中a>b>c一定成立吗? 答案:需要知道a,b的值及焦点所在的位置;在椭圆的标准方程中a>b>c不一定成立,只要a>b,a>c即可,b,c的大小关系不定. 思考2:根据椭圆方程,如何确定焦点位置? 答案:把方程化为标准形式,x2,y2的分母哪个大,焦点就在相应的坐标轴上. 　椭圆的定义在焦点三角形中的应用 [例1] 已知P为椭圆+=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积. 解:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos 60°, 即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.① 由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=4, 即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.② 由①②得|PF1|·|PF2|=4. 所以=|PF1|·|PF2|·sin 60°=. 变式探究:(1)在本例中,若把“∠F1PF2=60°”改为“∠PF1F2=90°”,其余条件不变,试求△PF1F2的面积; (2)本例中,若过点F1的直线l与椭圆交于A,B两点,求△ABF2的周长. 解:(1)由椭圆方程+=1,知a=2,c=3,由椭圆定义,得|PF1|+|PF2|=2a=4,且|F1F2|=6,在△PF1F2中,∠PF1F2=90°. 所以|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2. 从而(4-|PF1|)2=|PF1|2+36, 则|PF1|=, 因此=·|F1F2|·|PF1|=. 故所求△PF1F2的面积为. (2)因为|AF1|+|AF2|=2a, |BF1|+|BF2|=2a, 则△ABF2的周长为 |AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8, 所以△ABF2的周长为8. 椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,结合正弦定理、余弦定理等知识求解. 　求椭圆的标准方程 [例2] (2021·山东滕州校级期中)已知椭圆的焦距是6,且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10,则椭圆的标准方程为　　　　　　　　　.  解析:由题意知当焦点在x轴上时,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0), 因为2c=6,2a=10,可得c=3,a=5,b==4, 所以椭圆的标准方程为+=1. 同理可得当焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1. 综上可得,椭圆的标准方程为+=1或+=1. 答案:+=1或+=1 针对训练:根据下列条件,求椭圆的标准方程. (1)经过两点A(0,2),B(,); (2)经过点(2,-3),且与椭圆9x2+4y2=36有共同的焦点. 解:(1)设所求椭圆的方程为+=1(m>0,n>0,且m≠n),因为椭圆过点A(0,2),B(,),所以解得 即所求椭圆的标准方程为x2+=1. (2)因为椭圆9x2+4y2=36的焦点为(0,±),则可设所求椭圆方程为+=1(m>0),又椭圆经过点(2,-3),则有+=1,解得m=10或m=-2(舍去),即所求椭圆的标准方程为+=1. (1)利用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤: ①定位,确定焦点在哪个轴上; ②定量,依据条件及a2=b2+c2确定a,b,c的值; ③写出标准方程. (2)求椭圆方程时,若没有指明焦点位置,一般可设所求方程为+=1(m>0,n>0,且m≠n).再根据条件确定m,n的值. (3)当椭圆过两定点时,常设椭圆方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),将点的坐标代入解方程组求得系数. 　椭圆标准方程的应用 角度1　利用椭圆的标准方程求参数的值(取值范围) [例3] (2021·广州邝维煜纪念中学高二上学期月考)若方程+=1表示椭圆,则实数m的取值范围是　　　　　　.  解析:若方程+=1表示椭圆,则 解得m∈(0,1)∪(1,). 答案:(0,1)