2.4 曲线与方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习全书word（人教B版）

2.4　曲线与方程 学习目标 1.结合已学过的曲线与方程的实例,了解曲线与方程的对应关系. 2.理解“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念. 3.通过具体的实例掌握求曲线方程的一般步骤,会求曲线的方程. 1.曲线的方程与方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果曲线C与方程F(x,y)=0之间具有如下关系: (1)曲线C上的点的坐标都是方程F(x,y)=0的解; (2)以方程F(x,y)=0的解为坐标的点都在曲线C上.则称曲线C为方程F(x,y)=0的曲线,方程F(x,y)=0为曲线C的方程. 思考1:直线y=x上任一点M到两坐标轴距离相等吗?到两坐标轴距离相等的点都在直线y=x上,对吗? 答案:相等;不对.在平面直角坐标系中,到两坐标轴距离相等的点M的坐标(x0,y0)满足y0=x0或y0=-x0,即(x0,y0)是方程y=±x的解;反之,如果(x0,y0)是方程y=x或y=-x的解,那么以(x0,y0)为坐标的点到两坐标轴距离相等. 思考2:曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解,能否说f(x,y)=0是曲线C的方程? 答案:不能,还要验证以方程f(x,y)=0的解为坐标的点是不是都在曲线上. 2.求曲线方程的步骤 思考3:求曲线的方程要“建立适当的坐标系”,这句话怎样理解? 答案:建立坐标系的基本原则: (1)让尽量多的点落在坐标轴上; (2)尽可能地利用图形的对称性,使对称轴为坐标轴. 建立适当的坐标系是求曲线方程的首要一步,应充分利用图形的几何性质,如中心对称图形,可利用对称中心为原点建系;轴对称图形以对称轴为坐标轴建系;条件中有直角,可将两直角边作为坐标轴建系等. (1)对曲线和方程概念的理解: ①坐标系建立的不同,同一曲线的方程也不相同. ②一般地,求哪个点的轨迹方程,就设哪个点的坐标是(x,y),而不要设成(x1,y1)或(x′,y′)等. ③方程化简到什么程度,课本上没有给出明确的规定,一般指将方程f(x,y)=0化成x,y的整式.如果化简过程破坏了同解性,就需要剔除不属于轨迹上的点,找回属于轨迹而遗漏的点.求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线,求轨迹方程则不必说明. ④“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念:求轨迹方程只要求出方程即可;而求轨迹则应先求出轨迹方程,再说明轨迹的形状. (2)求曲线方程的常用方法: ①直接法:建立适当的坐标系后,设动点为(x,y),根据几何条件寻求x,y之间的关系式. ②定义法:如果所给几何条件正好符合已学曲线的定义,则可直接利用这些已知曲线的方程写出动点的轨迹方程. ③代入法:利用所求曲线上的动点与已知曲线上动点的关系,把所求动点转换为已知动点.具体地说,就是用所求动点的坐标(x,y)来表示已知动点的坐标,并代入已知动点满足的曲线的方程,由此可求得动点坐标(x,y)满足的关系. ④参数法:如果问题中所求动点满足的几何条件不易得出,也没有明显的相关点,但能发现这个动点受某个变量(像角度、斜率、比值、截距、时间、速度等)的影响,此时,可先建立x,y分别与这个变量的关系,然后将该变量(参数)消去,即可得到x,y的关系式. 　曲线与方程关系的应用 [例1] 证明以原点为圆心,半径为3的圆的方程是x2+y2=9. 证明:(1)设M(x1,y1)是圆上任意一点,则点M到原点的距离为3, 所以=3, 即+=9, 所以圆上的点的坐标都是方程x2+y2=9的解. (2)设点N的坐标(x2,y2)是方程x2+y2=9的解, 则+=9, 即=3, 所以点N到原点的距离为3, 所以点N在以原点为圆心,以3为半径的圆上.由(1)(2)可知,以原点为圆心,半径为3的圆的方程是x2+y2=9. 变式探究1:(变换条件)本例条件改为:求以原点为圆心,半径为3的圆的上半圆的方程. 解:上半圆上点的坐标仍旧是方程x2+y2=9的解,但方程的解中纵坐标为负的点都在x轴下方,不在曲线上,所以方程应为x2+y2=9(y≥0). 变式探究2:(改变问法)本例中方程改为x2+y2=9(xy>0),则它表示的轨迹是什么? 解:以方程x2+y2=9的解为坐标的点都在以原点为圆心,以3为半径的圆上,当满足xy>0时,说明这些点的横、纵坐标同号,即这些点应该在第一象限或第三象限内,所以方程表示的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆在第一和第三象限内的部分. 变式探究3:(改变问法)若本例条件改为已知曲线C的方程为x=,则曲线C表示的曲线是什么?该曲线与y轴围成的图形的面积是多少? 解:由x=, 得x2+y2=9. 又因为x≥0, 所以方程x=表示的曲线是以原点为圆心,3为半径的右半圆,从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆,其面积S=π×9=π. 所以所求图形的面积为π. 证明曲线与方程关系的技巧: (1)解答本类问题的关键:正确理