2.7 抛物线及其方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（人教B版）

2.7.2　抛物线的几何性质 选题明细表 知识点、方法 题号 性质应用 2,3,6,7,8,9,10 焦半径和焦点弦 1,5 最值、面积等问题 4,11 综合 6,12 基础巩固 1.(2021·广东月考)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,准线为l.点P在C上,直线PF交x轴于点Q,若=3,则点P到准线l的距离为(　B　) A.6 B.5 C.4 D.3 解析:如图,过点P作x轴的垂线,垂足为N, 由题知,F(0,1),即|OF|=1, 因为=3,所以==, 所以|PN|=4, 所以点P到准线的距离为|PN|+1=5.故选B. 2.(2021·云南玉溪月考)已知直线l过抛物线C:y2=x的焦点,并交抛物线C于A,B两点,|AB|=2,则弦AB中点G的横坐标是(　C　) A. B. C. D.1 解析:如图,由题意可得抛物线的准线m的方程为x=-,过点G作抛物线准线m的垂线GD⊥m于点D,过A,B分别作AA′⊥m于点A′, BB′⊥m于点B′,则|AA′|+|BB′|=|AB|=2, 因为弦AB的中点为G, 所以|GD|=(|AA′|+|BB′|)=|AB|=1, 所以点G的横坐标是1-=.故选C. 3.(多选题)已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,其上的三个点A,B,C的横坐标之比为3∶4∶5,则以|FA|,|FB|,|FC|为边长的三角形不可能是(　ACD　) A.等腰直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.直角三角形 解析:设A,B,C三点的横坐标分别为x1,x2,x3,则x1=3k,x2=4k,x3= 5k(k>0),由抛物线定义得|FA|=+3k,|FB|=+4k,|FC|=+5k,易知三者能构成三角形,设|FC|所对角为最大角α, cos α= =>0, 该三角形必是锐角三角形.故选ACD. 4.(2021·黑龙江工农区校级期中)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为16,则抛物线的方程为(　C　) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=20x 解析:由题意知F(,0),准线方程为x=-,因为|MF|=3|OF|,所以|MF|=p,所以点M的横坐标为p-=p,纵坐标为y=±p.因为△MFO的面积为16,所以··p=16,所以p=8,所以抛物线的方程为y2=16x.故选C. 5.以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点,且与x轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为　　　　　　　　. 解析:因为抛物线的通径为2p=8,且以x轴为对称轴, 所以其方程为y2=8x或y2=-8x. 答案:y2=8x或y2=-8x 6.(2021·湖南高二期中)已知抛物线C1:y2=8x的焦点为F,圆C2: (x-2)2+y2=16与抛物线C1在第一象限的交点为A(x0,y0),直线l:y= t(0<t<y0)与抛物线C1的交点为B,直线l与圆C2在第一象限的交点为D,则y0=　　　　;△C2DB周长的取值范围为　　　　. 解析:⇒ 因为y0>0,所以y0=4. 设直线l:y=t(0<t<y0)与抛物线的准线x=-2交于点P,则|BP|=|BC2|. △C2DB周长为|BC2|+|BD|+|DC2|=|DP|+4, 又|DP|∈(4,8),所以周长的取值范围为(8,12). 答案:4　(8,12) 能力提升 7.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于(　C　) A. B.2 C. D.4 解析:直线4kx-4y-k=0,即y=k(x-), 即直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点(,0). 设A(x1,y2),B(x2,y2), 则|AB|=x1+x2+=4, 即x1+x2=, 则弦AB的中点的横坐标是, 故弦AB的中点到直线x+=0的距离是+=. 故选C. 8.(多选题)(2021·全国高二课时练习)平面内到定点F(0,1)和到定直线l:y=-1的距离相等的动点的轨迹为曲线C,则(　AB　) A.曲线C的方程为x2=4y B.曲线C关于y轴对称 C.当点P(x,y)在曲线C上时,y≥2 D.当点P在曲线C上时,点P到直线l的距离d≥2 解析:由抛物线的定义,知曲线C是以F为焦点,直线l为准线的抛物线,其方程为x2=4y,故A正确; 若点(x,y)在曲线C上,则点(-x,y)也在曲线C上,故曲线C关于y轴对称,故B正确; 由x2=4y知y≥0,故C错误; 点P到直线l的距离d≥1,故D错误.故选AB. 9.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上,则p=　　　,