2.4 曲线与方程-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册同步全程学习课时作业word（人教B版）

2.4　曲线与方程 选题明细表 知识点、方法 题号 曲线与方程关系的应用 1,5,6,12 由方程研究曲线类型及形状 2,4,7,9 求曲线的方程 3,8,10,11 基础巩固 1.曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0与x轴的交点坐标是(　A　) A.(4,0)和(-1,0) B.(4,0)和(-2,0) C.(4,0)和(1,0) D.(4,0)和(2,0) 解析:在曲线x2-xy-y2-3x+4y-4=0中,令y=0,则x2-3x-4=0,所以x=-1或x=4. 所以交点坐标为(-1,0)和(4,0).故选A. 2.(多选题)方程(2x-y+2)·=0表示的曲线是(　CD　) A.一个点与一条直线 B.两个点 C.两条射线 D.一个圆 解析:原方程等价于x2+y2-1=0, 即x2+y2=1(一个圆), 或(两条射线).故选CD. 3.已知点M(1,1),N(-3,5),则满足条件|PM|=|PN|的点P不可能在下列哪个方程表示的曲线上(　C　) A.2x-y+1=0 B.x2+y2=8 C.+=1 D.x2+y2-2x-4y-1=0 解析:设点P(x,y),点M(1,1),N(-3,5), 因为|PM|=|PN|, 所以=, 化简整理可得x-y+4=0, 所以满足条件|PM|=|PN|的点P的轨迹方程为x-y+4=0, 因为直线x-y+4=0与曲线2x-y+1=0,x2+y2=8,x2+y2-2x-4y-1=0都有公共点, 与曲线+=1无公共点, 所以点P不可能在方程 +=1表示的曲线上.故选C. 4.(2021·黑龙江高二期中)方程(x2+3y2-3)·=0表示的曲线是(　C　) A.一个椭圆和一条直线 B.一个椭圆和一条射线 C.一条直线 D.一个椭圆 解析:由(x2+3y2-3)=0, 可得x2+3y2=3(x≥4)或x=4, 可得+y2=1(x≥4)不可能成立, 所以只有x=4这一条直线.故选C. 5.“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”是“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”的　　　 　条件.  解析:“方程f(x,y)=0是曲线C的方程”⇒“曲线C上的点的坐标都是方程f(x,y)=0的解”,反之不成立. 答案:必要不充分 6.曲线y=(x>0)与圆C:x2+y2=r2只有一个公共点,则圆C的面积为 　　 　　.  解析:曲线y=(x>0)关于直线y=x对称,曲线与圆C:x2+y2=r2只有一个公共点, 公共点必定在直线y=x上,所以解得交点坐标为(1,1), 所以圆的半径为, 所以圆的面积为2π. 答案:2π 能力提升 7.方程x2+y2=1(xy<0)表示的曲线是(　D　) 解析:因为x2+y2=1表示圆心在原点,半径为1的圆,又xy<0,说明图像在第二、四象限.故选D. 8.(多选题)在平面斜坐标系xOy中,∠xOy=45°,点P的斜坐标定义为“若=x0e1+y0e2(其中e1,e2分别为与斜坐标系的x轴、y轴同方向的单位向量),则点P的坐标为(x0,y0)”.若F1(-1,0),F2(1,0),且动点M(x,y)满足||=||,则点M在斜坐标系中的轨迹方程不正确的是(　ABC　) A.x-y=0 B.x+y=0 C.x-y=0 D.x+y=0 解析:设M(x,y), 由定义可知=-[(x+1)e1+ye2],=-[(x-1)e1+ye2], 由||=||可得(x+1)2+y2+2y(x+1)×=(x-1)2+y2+2y(x-1)×, 整理可得x+y=0.故选ABC. 9.方程|x+1|+|y-1|=2表示的曲线围成的图形的对称中心的坐标为 　　　　,面积为　　　　.  解析:当x≥-1,y≥1时,方程等价为x+y-2=0, 当x≥-1,y≤1时,方程等价为x-y=0, 当x≤-1,y≥1时,方程等价为x-y+4=0, 当x≤-1,y≤1时,方程等价为x+y+2=0, 则对应的图像如图, 则围成的图像为正方形, 其中A(-1,3),B(1,1),C(-1,-1),D(-3,1), 则该图形的对称中心的坐标为(-1,1),且|BD|=4,|AC|=4, 则正方形的面积为S=2×4=8. 答案:(-1,1)　8 10.在平面直角坐标系中,A(a,0),a≠0,D(0,b),C(0,-2),∠CAB= 90°,D是AB的中点,当A在x轴上移动时,a与b满足的关系式为 　　　　,点B的轨迹方程为　　　　　　　　.  解析:由题意,因为∠CAB=90°, 所以kAC·kAB=-1, 又kAC=,kAB=kAD=-, 所以-=-1,即a2=2b(a≠0). 设B(x,y),因为D是AB的中点, 所以x=-a,y=2b, 因为a2=2b(a≠0),