4.3.1 等比数列的概念1(概念、通项公式) -【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.1 等比数列的概念1(概念、通项公式) 1等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 解析 (1) 公比是每一项与它的前一项的比，常数指的是与无关; (2)等比数列中(否则数列会出现,不可能符合等边数列定义)； (3) 是公比为的等比数列； 是公比为的等比数列； 不是等比数列. 【例】 以下数列是等比数列的 . (1)；(2)；(3)数列满足. 答案 (1)(3).当时，(2)不是等比数列 2 等比中项 若成等比数列，则称与的等差中项,则； 证明 若成等比数列，由等比数列的定义可得，即. 【例】 若是与的等比中项，则 . 解 依题意得,解得或. 3 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 解析 (1)证明 由等比数列的定义可得，， 所以, , ,…, 把以上个等式累乘可得,即, 当时，，即当时上式也成立， 故. 以上的方法称之为累乘法. (2) 通项公式告诉你：已知等比数列的首项与公比可求得任何一项 (3)等比数列的通项公式可整理为,当，且时，可以看成的指数函数型函数.比如等比数列的各点都在指数函数上. (4)偶数项的正负、奇数项的正负相同(,故同号，即偶数项的正负相同；奇数项同理). 【例1】 若成等比数列，则 . 解：，而,故. 与均是奇数项，符号相同) 【例2】等比数列中，，则等于 . 答案 4 证明一个数列是等比数列的方法 ① 定义法：是常数，是等比数列； ② 中项法：是等比数列； ③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如是不为常数， 则数列是等比数列. 【题型1】等比数列的判定和证明 【典题1】 (多选)已知数列是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是(　　) A． B． C． D． 解析 由题意，可设等比数列的公比为，则． 对于：． 数列是一个以为首项，为公比的等比数列； 对于：． 数列是一个以为首项，为公差的等差数列； 对于：， 数列是一个以为公比的等比数列； 对于：， 数列是一个以为公比的等比数列． 故选：． 点拨 证明是等比数列常见的方法是定义法：是常数，；选择题也可采取排除法，检验前三项是否成等比数列. 【典题2】已知数列的前项和为，且满足 求证：是等比数列；求证：不是等比数列． 证明 因为，所以当时， 两式相减得， ， ， 故是公比为的等比数列． 假设：是等比数列，则有：， 即：， 由知是等比数列，所以， 于是，即，解得， 这与是等比数列相矛盾， 故假设错误，即：不是等比数列． 【巩固练习】 1.根据下列通项能判断数列为等比数列的是(　　) A． B． C． D． 答案 解析 在中，是等差数列，不是等比数列，故错误； 在中，既不是等差数列，又不是等比数列，故错误； 在中，是等比数列，故正确； 在中，既不是等差数列，又不是等比数列，故错误． 故选：． 2.已知数列是等比数列，则下列数列中：①；②；③，等比数列的个数是(　　) A．个 B．个 C．个 D．个 答案 解析 数列是等比数列，设公比为，则为常数． 则，则 ，为常数，故：①为等比数列． ，不是常数，故②不是等比数列． ，为常数，故③为等比数列， 故选：． 3.已知数列满足，求证：是等比数列． 证明 . . . 数列是等比数列． 4.已知数列满足，．证明：是等比数列； 证明 由，得，即， 故． 又，所以是首项为，公比为的等比数列． 【题型2】 等比数列的通项公式 【典题1】 在等比数列中，，，则　　) A． B． C．或 D．或 解析 设等比数列的公比为，则 ，， ， ， 或， 或,, 故选：． 点拨 本题采取基本量法，，是等比数列的基本量，在等比数列中遇到采取通项公式；由通项公式由已知条件得到关于的方程组，再通过因式分解消元解方程. 【典题2】已知数列中，，，若是等比数列，则等于(　　) A． B． C． D． 解析 设等比数列的公比为，， 则，解得． ，解得， 故选：. 【巩固练习】 1.已知数列满足，，则(　　) A. B. C. D. 答案 解析 因为，， 所以，即数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，可得． 故选：． 2.设是等比数列，下列结论中不正确的是(　　) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 答案 解析 设等比数列的公比为， ，，，则，正确． ，，，则，正确． ，，，则，因此不正确． ，，． 则，正确． 故选：． 3. 已知成等差数列，