数列专题2 求数列的前n项和-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

求数列的前项和 求数列的前项和是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相加(乘)法、分组求和法与裂项相消法等，在掌握这些方法的时候要注意方法的适用范围，其中的计算量有些大，技巧性也较强，需要多加以理解与总结. 方法一 公式法 若已知数列是等差或等比数列，求其前项和可直接使用对应的公式；若求和的式子对应某些公式，也可以直接使用.常见如下 等差数列求和公式 等比数列求和公式 . 【典题1】求和式. 巩固练习 1.求和式. 2.已知是等差数列，公差，，且成等比数列，求数列的前项和． 方法二 倒序相加(乘)法 1 对于某个数列，若满足，则求前项和可使用倒序相加法. 具体解法：设 ① 把①反序可得 ② 由①②得. 2 对于某个数列，若满足，则求前项积可使用倒序相乘法.具体解法类同倒序相加法. 【典题1】 设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为　 　． 巩固练习 1.设等差数列，公差为，求证：的前项和. 2.设函数，求的值　　． 方法三 分组求和法 1 若数列中通项公式，可分成两个数列，之和，则数列的前项和等于两个数列，的前项和的和. 2 常见的是等差等比形式， ，求数列的前项和. 解 ④公式法求和 ③等比项等差项分组 ②保存每项原始数值 ①写出前三项后二项 等差数列 等比数列 3 等比数列的通项公式形如，等差数列的通项公式形如. 【典题1】求数列的前项和. 【典题2】已知在等差数列中，，． 设，求证：数列是等比数列；求数列的前项和． 巩固练习 1.已知数列的通项，若数列的前项和为，则　 　． 2.已知数列是等比数列，公比为，数列是等差数列，公差为，且满足：，，． (1)求数列和的通项公式；(2)设，求数列的前项和． 方法四 错位相减法 当数列的通项公式,其中为等差数列, 为等比数列. 【典题1】已知递增的等比数列满足，且是的等差中项． 求数列的通项公式； 令，，求． 巩固练习 1.设等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，求数列的前项和． 2.已知正项数列的前n项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，若，求； (3)求数列的最小项． 方法五 裂项相消法 常见裂项公式 ，； ，. 【典题1】 设等差数列满足，，则数列的前项的和等于　　． 【典题2】已知数列的前n项和为，且满足，． (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：． 巩固练习 1.已知数列满足，． 证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； 设，求数列{bn}前项和． 2.已知正项数列的前项和为． 求数列的通项公式； 设是递增数列，，为数列的前项和，若恒成立，求实数的取值范围． 【A组---基础题】 1.数列，，，…，的前项和为(　　) A． B． C． D． 2.设，利用课本中推导等差数列前项和的公式的方法，可求得的值为　 　． 3.数列满足，其前项和为．若恒成立，则的最小值为　　． 4.已知等差数列中，公差，，为方程的两根． 求数列的通项公式； 设，求数列的前项和． 5.已知正项数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，，求数列的前项和． 6.已知公差不为的等差数列的前项和，且第项、第项、第项成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和． 7.已知等差数列的前项和为，且，． (1)求；(2)设数列的前项和为，求证：． 8.已知数列的前项和为，且满足． (1)证明数列是等比数列； (2)若数列满足，记数列的前项和为，证明：． 9.设函数的图象上两点、，若，且点的横坐标为． (1)求证：点的纵坐标为定值，并求出这个定值； (2)求. 【B组---提高题】 1.求的值 2. 已知数列满足：且，数列的前项和满足：． (1)证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式； (2)若，数列的前项和为，对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 3.已知数列满足，，． (1)求证：是等差数列；(2)证明：． 【C组---拓展题】 1.设，则的值为　 　. 2.已知正项数列的前项和为，对有．令，设的前项和为，则在中有理数的个数为　 　． 3.已知数列满足，． 求证：数列为等差数列，并求； 设，数列的前项和为，求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 求数列的前项和 求数列的前项和是数列中常考的一大专题，其方法有公式法、倒序相