4.4 数学归纳法-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.4 数学归纳法 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”； 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法. 解析 1.数学概念法类似“多米诺骨牌”，满足两个条件：①第一个骨牌可倒下；②任一个骨牌倒下时均可令下个骨牌倒下；这样所有骨牌均倒下了！故用数学归纳法证明，两个步骤缺一不可. 2.第一步归纳奠基中的不一定是；第二步中当证明从到时，所证明的式子不一定只增加一项. 3.在运用数学归纳法证明在证明第二步中，强调两个“凑”，一是“凑”假设，在时的式子中凑出的式子(确定两个式子的“差项”；二是“凑”结论，明确时要证明的目标，在这个过程中常用到比较法、分析法等，不等式证明中还会用到放缩法)； 4.要注意“观察---归纳—猜想---证明”的思维模式和由特殊到一般的数学思想. 2 数学归纳法的运用 数学归纳法证明的对象是与正整数有关的命题，比如：与正整数有关的等式或不等式的证明，求数列的通项公式，与数列有关的不等关系证明，整除问题，函数不等式等. 【例】用数学归纳法证明. 【题型1】 对数学归纳法的理解 【典题1】 用数学归纳法证明“对于的正整数都成立”时，第一步证明中的起始值应取 . 【典题2】用数学归纳法证明命题“当是正奇数时，能被整除”，在第二步时，正确的证法是 (　　) A．假设，证明命题成立 B．假设(是正奇数)，证明命题成立 C．假设，证明命题成立 D．假设(是正奇数)，证明命题成立 【巩固练习】 1.已知数列中，，，用数学归纳法证明：，在验证成立时，不等式右边计算所得结果是(　　) A． B．1 C． D．2 2.用数学归纳法证明时，第二步应假设(　　) A．时， B．时， C．时， D．时， 3.用数学归纳法证明不等式时，以下说法正确的是(　) A．第一步应该验证当时不等式成立 B．从“到”左边需要增加的代数式是 C．从“到”左边需要增加项 D．从“到”左边需要增加项 【题型2】 数学归纳法的运用 【典题1】用数学归纳法证明. 【典题2】试用数学归纳法证明． 【典题3】已知数列的前项和． (1)计算，并猜的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想． 【巩固练习】 1.用数学归纳法证明： 2.若属于自然数，，证明：． 3.用数学归纳法证明：． 4.已知数列满足，． (1)计算；(2)猜测的表达式，并用数学归纳法证明． 5.已知数列的前项和分别为，且，． (1)求；(2)猜想的表达式，并用数学归纳法证明． 【A组---基础题】 1.用数学归纳法证明时，第一步当时，左边的代数式是(　　) A． B． C． D． 2.用数学归纳法证明“”时，由不等式成立，推证时，左边应增加的项数是 (　　) A． B． C． D． 3.用数学归纳法证明某不等式时，其左边，则从“到”应将左边加上　 ． 4.用数学归纳法证明： ． 5.当，时，求证：． 6.已知数列的前项和为，且满足． (1)求，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 7.证明：对一切，都有能被整除． 8.已知数列满足，，． 计算的值； 猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明． 9.已知前三个式子分别为：，，，…． (1)照此规律，写出第个不等式； (2)用数学归纳法和放缩法两种方法证明． 【B组---提高题】 1.用数学归纳法证明：． 2.已知数列满足，； (1)猜想数列的单调性，并证明你的结论； (2)证明：． 3.已知数列的各项都是正数，且满足，, (1) 证明 (2) 求数列的通项公式. 【C组---拓展题】 1.已知数列中，， ， (1)证明：； (2)设数列的前项和为，证明. 2.平面内条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点． (1)设这条直线互相分割成条线段或射线，猜想的表达式并给出证明； (2)求证：这条直线把平面分成个区域． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！（北京）股份有限公司13 zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 数学归纳法 1 数学归纳法的概念 一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当时命题成立； (2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”；