4.3.2 等比数列的综合应用-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.2 等比数列的综合应用 1等比数列的定义 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 2 等比中项 若成等比数列，则称与的等差中项，则； 3证明一个数列是等比数列的方法 ① 定义法：是常数，是等比数列； ② 中项法：是等比数列； ③ 通项公式法：若数列的通项公式是形如是不为常数， 则数列是等比数列； ④ 前项和法：若数列的前项和是形如是常数且，，， 则数列是等比数列. 4 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 5前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 (由错位相减法可证) 注：使用时注意公比是否等于，若不确定，使用时需要分类讨论. 6 基本性质 (其中 设是首项为， 公比为的等比数列，那么 若 则 ； ； ； 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等差数列且公差为的项组成公比为的等比数列； (6)若，则成等比数列；(，是偶数时，) 【题型1】 等比数列的基本运算 【典题1】 若公比为的等比数列的前项和为，且成等差数列，则　( ) A． B． C． D． 【典题2】已知数列是公差不为零的等差数列，为等比数列，且，，，设，则数列的前项和为 . 【巩固练习】 1.设正项等比数列的前项和为，若，则公比( ) A． B． C．或 D．或 2.已知等比数列的前项和为，且成等差数列，则数列的公比　　( ) A．或 B．或 C．或 D．或 3.设正项等比数列的前项和为，若，，则　( ) A． B． C． D． 【题型2】 等比数列的基本性质的运用 【典题1】 (多选)在递增的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( ) A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为的等差数列 【典题2】等比数列的前项和为，前项积为，，，当最小时，的值为( ) A． B． C． D． 【巩固练习】 1.已知等比数列的前项和为，若，，且，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 2.公比为的等比数列，其前项和为，前项积为，满足，，．则下列结论正确的是( ) A． B． C．的最大值为 D．的最大值为 3.(多选)已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则下列结论正确的是( ) A．若数列是正项等比数列，则数列是等差数列 B．若，，则 C．若，，则 D．若，则 4.已知等比数列的前项和为，公比，，，若数列为等比数列，则实数　　． 5.已知等比数列，，，，为数列的前项乘积，则当取得最大值时， 　　． 【题型3】等比数列解答题 【典题1】 设数列的前项和为，满足，且成等差数列． (1)求的值； (2)求证：是等比数列．并求数列的通项公式； (3)求数列的前项和. 【典题2】已知数列是各项为正数的等比数列，且，．数列是单调递增的等差数列，且，， (1)求数列与数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【巩固练习】 1.已知等比数列满足． (1)求的通项公式； (2)记的前项和为，证明：时，． 2.已知数列满足，，且． (1)设，求证：数列是等比数列； (2)若数列满足，求实数的取值范围． 3.设数列的前项和为，， (1)若，求； (2)若，求的前项和； (3)若，求数列的通项． 【A组---基础题】 1.记单调递增的等比数列的前项和为，若，，则( ) A． B． C． D． 2.设等比数列的前项和为，公比为，且成等差数列，则等于( ) A． B． C． D． 3.设为等比数列的前项和，若，，，则的公比的取值范围是( ) A． B． C． D． 4.在等比数列中，，，记，则数列　　( ) A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 5.(多选)在公比为的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是( ) A． B．数列是等比数列 C． D． 6.已知等比数列的前项和为，若，，则 　　． 7.如图，在内有一系列的正方形，它们的边长依次为，若，，则所有正方形的面积的和为　　 ． 8.已知等比数列的公比，且，． (1)求公比和的值；(2)若的前项和为，求证． 9.在数列中，且对于任意的自然数都有. (1)证明数列是等比数列． (2)求数列的通项公式及前项和为． 10.设数列的