4.3.1 等比数列的概念2(性质运用)-【基础过关系列】2022-2023学年高二数学同步精品讲义与分层练习(人教A版2019选择性必修第二册)

4.3.1 等比数列的概念2(性质运用) 等比数列的基本性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； 证明 由等比数列通项公式可得，， 两式相除可得，即. 意义 求等比数列任一项或通项公式，不一定要求，可利用任一项（非即可）. 例 若等比数列中，，，则 . ； 证明 由性质可得. 意义 利用等比数列任意两项可求公比. 例 若等比数列中，，,则公比 . 若 则 ； 证明 由等比数列通项公式可得 ， ， ,, 即. 意义 下标和相等，其对应项的和相等. 例 ，但不一定等于。 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 证明 ,得证. 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 证明 ,得证. 【题型1】 等比数列的性质的应用 【典题1】 已知正项等比数列中，，，则(　　) A. B. C. D. 【典题2】等比数列是递增数列，，，则的值为(　　) A. B. C. 或 D. 或 【典题3】已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为 . 【巩固练习】 1.若等比数列各项都是正数，，，则的值为(　　) A． B． C． D． 2.已知正项等比数列满足，若，则的值为(　　) A. B. C. D. 3.各项均为正数的等比数列满足，则(　　) A. B. C. D. 4.等比数列满足，，则(　　) A. B. C. D. 5.在等比数列中，是方程的根，则的值为 . 6.在等比数列中，，，则 . 7.在正项等比数列中，，，则的个位数字是 . 【题型2】 等比数列的综合问题 【典题1】 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是，后三个数依次成等差数列，它们的积为，求出这四个数． 【典题2】在等比数列中，公比，且满足，. 求数列的通项公式; 设，数列的前项和为，当取最大值时，求的值. 【巩固练习】 1.已知四个数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，中间两数之积为，前后两数之积为，求这四个数． 2.已知等比数列是递增数列，满足，． (1)求的通项公式； (2)设，若为数列的前项积，证明． 3.已知等比数列的各项均为正数，且，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的最大项． 【A组---基础题】 1.已知数列满足，若，则(　　) A. B. C. D. 2.已知等比数列中，，，则(　　) A. B. C. D. 3.在等比数列中，，则(　　) A. B. C. D. 4.正项等比数列满足，则　　) A． B． C． D． 5.(多选)等比数列的公比为，且满足，，．记，则下列结论正确的是(　　) A． B． C． D．使成立的最小自然数等于 6.河南洛阳龙门石窟是中国石刻艺术宝库，现为世界非物质文化遗产之一．某洞窟的浮雕共层，它们构成一幅优美的图案．各层浮雕数成等比数列，第二层浮雕数为，第层浮雕数为，则第层浮雕数为 　 　. 7.已知等比数列满足，，则　 　. 8.已知公比大于的等比数列中，，，则 . 9.已知等比数列中，若，则　 　． 10.等比数列中，求等比数列的通项公式. 11.已知等比数列的项数为奇数，且所有奇数项的乘积为，所有偶数项的乘积为，求项数的值． 12.在等比数列中，公比，且，又与的等比中项为. 求数列的通项公式； 设，数列的前项和为，求数列的通项公式； 当取得最大值时，求的值. 【B组---提高题】 1.(多选)已知等比数列的各项均为正数，公比为，且，，记的前项积为，则下列选项中正确的选项是(　　) A． B． C． D． 2.在等比数列中，，，求　 　． 【C组---拓展题】 1.设，关于的方程的四个实根构成以为公比的等比