第四章 图形的相似——相似多边形 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册

相似多边形

一．知识盘点

1.相似多边形的定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形相似。

2.相似多边形的性质：①对应角相等

                    ②对应边成比例

3.相似多边形的判定：各角分别相等，各边成比例

 

二．技能提升

易错：

①如果两个多边形各角对应相等，那么它们不一定相似，例如正方形和矩形；

②如果两个多边形各边对应成比例，那么它们不一定相似，例如正方形和菱形。

 

三．专项训练

1．如图，已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点．若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=　　　　　　．

2．如图，An系列矩形纸张的规格特征是：①各矩形纸张都相似；②A1纸对裁后可以得到两张A2纸，A2纸对裁后可以得到两张A3纸，…，An纸对裁后可以得到两张An+1纸．

（1）填空：A1纸面积是A2纸面积的　　　　　　倍，A2纸周长是A4纸周长的　　　　　　倍；

（2）根据An系列纸张的规格特征，求出该系列纸张的长与宽（长大于宽）之比；

（3）设A1纸张的重量为a克，试求出A8纸张的重量．（用含a的代数式表示）

 

 

 

 

3．如图所示，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，求未知边x的长度和α的大小．

 

4．已知一个矩形的长和宽分别为4cm和8cm，与它相似的矩形的一条边长12cm，求这个矩形的面积．

 

 

 

5．如图，一个矩形广场的长为60m，宽为40m，广场内两条纵向小路的宽均为1.5m，如果设两条横向小路的宽都为x m，那么当x为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？

6．如图，矩形ABCD∽矩形ECDF，且AB=BE，求BC与AB的比值．

7．如图，点E是菱形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AE为边作一个菱形AEFG，且菱形AEFG∽菱形ABCD，连接EB，GD．

（1）求证：EB=GD；

（2）若∠DAB=60°，AB=2，AG=，求GD的长．

 

 

8．学生会举办一个校园摄影艺术展览会，小华和小刚准备将矩形的作品四周镶上一圈等宽的纸边，如图所示．两人在设计时发生了争执：小华要使内外两个矩形相似，感到这样视觉效果较好；小刚试了几次不能办到，表示这是不可能的．小红和小莉了解情况后，小红说这一要求只有当矩形是黄金矩形时才能做到，小莉则坚持只有当矩形是正方形时才能做到．请你动手试一试，说一说你的看法．

 

9．一个矩形ABCD的较短边长为2．

（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；

（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．