1.3 正方形的性质与判定 讲义 2022—2023学年北师大版数学九年级上册
正方形的性质与判定
1．正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．
2．正方形的性质：正方形除具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质外，还具有：
（1）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；
（2）正方形的两条对角线相等并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；
（3）两条对角线将它分成四个全等的等腰直角三角形；
（4）正方形及时轴对称图形，又是中心对称图形.
3．正方形的判定：
（1）根据正方形的定义；
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形；
（3）有一个角是直角的菱形是正方形；
（4）对角线垂直的矩形是正方形；
（5））对角线相等的菱形是正方形；
（6）既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
1．掌握正方形定义是学好本节的关键，正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：
正方形不仅是特殊的平行四边形，而且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．
2．正方形的性质可归纳如下：
边：对边平行，四边相等；
角：四个角都是直角；
对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
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此外：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴，学习时，应熟悉这些最基本的内容．
1.下列命题中，真命题是( )
A.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形
B.两条对角线相等的四边形是矩形
C.一条对角线平分一组对角的四边形是菱形
D.四条边相等的四边形是正方形
2.如图，正方形ABCD对角线相交于O，E是OA上任一点，CF⊥BE于F.CF交OB于G，求证：OE＝OG.
- 如图，正方形ABCD中，E是BC的中点，AE与BD相交F，求证：CF⊥DE
4.如图，E为正方形ABCD的边AB延长线上一点，DE交AC于F，交BC于G，H为GE的中点.求证：BF⊥BH.
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5.如图，已知正方形ABCD，在BC上取一点E，延长AB至F，使BF＝BE，AE的延长线交CF于G，求证AG⊥CF.
6.正方形中的截长补短（旋转）
（1）如图，E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠EAF＝45°，求证：EF＝BE+DF.
（2）如图，已知矩形ABCD中，F为CD的中点，在BC上有一点E，使AE＝DC＋CE，AF平分∠EAD．求证：矩形ABCD是正方形．
7.手拉手问题：
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