1.1菱形的性质与判定 讲义 　2022—2023学年北师大版数学九年级上册

菱形的性质与判定

一．知识盘点

1.菱形的定义：有一组领边相等的平行四边形叫做菱形。

2.菱形的性质定理：

①菱形的四条边相等

②菱形的对角线互相垂直

3.菱形的判定定理：

①有一组领边相等的平行四边形是菱形。

②对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

③四边相等的四边形是菱形。

3.菱形对称性：

①菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴。

②菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心。

 

二．技能提升

1．在记菱形性质的时候，着重记住，边和对角线不同于一般平行四边形的地方。

2.一条对角线平分一组对角的特点，可以通过证明全等说明，这个特点也需要记住，但不能直接用到证明过程中。

3.菱形面积的求法和其他平行四边形一样可以用：底×高。在选择和填空的问题里面，还可以直接用：对角线乘积的一半。

4.中心对称性：通过对角线交点的直线，一定将菱形的面积分成相等的两部分。中心对称图形都可以。

 

三．专项训练

专项训练一：性质应用

1．如图，菱形ABCD中，∠A=120°，E是AD上的点，沿BE折叠△ABE，点A恰好落在BD上的点F，那么∠BFC的度数是（　　）

A．60°  B．70°  C．75°  D．80°

2．如图，在菱形ABCD中，AB=4cm，∠ADC=120°，点E、F同时由A、C两点出发，分别沿AB、CB方向向点B匀速移动（到点B为止），点E的速度为1cm/s，点F的速度为2cm/s，经过t秒△DEF为等边三角形，则t的值为　　．

3．如图，菱形ABCD的边长为8cm，∠A=60°，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，则四边形BEDF的面积为____________cm2.

4．在菱形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，若∠BAE=20°. 求：∠CEF的度数.

 

5．菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．

（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证BE=DF；

（2）如图2，若∠EAF=60°，求证△AEF是等边三角形．

 

 

 

6．已知：如图，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过M作ME⊥CD于点E，∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；

（2）求证：AM=DF+ME．

 

7．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，过点A作AE⊥CD于点E，交对角线BD于点F，过点F作FG⊥AD于点G． 
（1）求证：BF=AE+FG；
（2）若AB=2，求四边形ABFG的面积．
 

8．已知，△ABC为等边三角形，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作菱形ADEF，使∠DAF=60°，连接CF．

⑴如图1，当点D在边BC上时，

求证：∠ADB=∠AFC；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB＋∠DAC是否成立；