3.3 幂函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（人教A版）

3.3　幂函数 选题明细表 知识点、方法 题号 幂函数的概念、图象 1,2,7,10 幂函数性质 3,4,5 幂函数的综合应用 6,8,9,11,12 基础巩固 1.已知幂函数f(x)=k·xα的图象过点(,),则k+α等于(　C　) A. B.1 C. D.2 解析:由幂函数的定义,知 所以k=1,α=,所以k+α=.故选C. 2.函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　B　) 解析:y=的图象位于第一象限,且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的(如选项A中的图所示),将y=-1的图象关于x轴对称后即为选项B.故选B. 3.幂函数f(x)=(m2-2m+1)x2m-1在(0,+∞)上单调递增,则实数m的值为(　D　) A.0 B.1 C.1或2 D.2 解析:因为函数f(x)是幂函数, 所以m2-2m+1=1,解得m=0或m=2,因为函数f(x)在(0,+∞)上单调 递增, 所以2m-1>0,即m>,故m=2.故选D. 4.(多选题)下列命题中是真命题的有(　BD　) A.幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0) B.幂函数的图象不可能过第四象限 C.当n>0时,幂函数y=xn是增函数 D.当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内函数值随x值的增大而减小 解析:由于幂函数f(x)=x-1的图象不经过点(0,0),所以A不正确;根据幂函数的定义,当x>0时,y不可能小于0,因此幂函数的图象不可能过第四象限,所以B正确;如幂函数f(x)=在其定义域上不是单调函数,所以C不正确;根据幂函数的图象与性质,可得当n<0时,幂函数y=xn在第一象限内单调递减,所以D是正确的.故选BD. 5.幂函数f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,且f(-x)=f(x),则m等于　　　　.  解析:因为f(x)=xm-2(m∈N)在(0,+∞)上单调递减,所以m-2<0,故m<2. 又因为m∈N,所以m=0或m=1, 当m=0时,f(x)=x-2,f(-x)=f(x),符合题意; 当m=1时,f(x)=x-1,f(-x)≠f(x),不符合题意. 综上知,m=0. 答案:0 6.已知幂函数f(x)的图象经过点(4,2),则函数f(x)=　　　　,若f(2-a)>f(a-1),则实数a的取值范围是　　　　.  解析:设幂函数f(x)=xα,由f(4)=4α=2,得到α=,于是f(x)==.若f(2-a)>f(a-1),则>,所以解得 1≤a<. 答案:　[1,) 能力提升 7.如图是幂函数y=xm与y=xn在第一象限内的图象,则(　B　) A.-1<n<0<m<1 B.n<-1,0<m<1 C.-1<n<0,m>1 D.n<-1,m>1 解析:由幂函数的图象特征可知n<-1,0<m<1.故选B. 8.(多选题)已知幂函数f(x)的图象经过点(,),P(x1,y1),Q(x2,y2) (x1<x2)是函数图象上的任意不同两点,给出以下结论正确的是(　BC　) A.x1f(x1)>x2f(x2) B.x1f(x1)<x2f(x2) C.> D.< 解析:因为f(x)为幂函数,故可设f(x)=xα,又它的图象经过点(,),可由=()α得出α=,所以f(x)=.设g(x)=xf(x)=x=,它在[0,+∞)上为增函数,若0≤x1<x2,则有g(x1)<g(x2),故A,B中只能选择B.设h(x)===,它在(0,+∞)上为减函数,若0<x1<x2,则有h(x1)>h(x2),故C,D中只能选择C.故选BC. 9.已知幂函数f(x)的图象为曲线C.有下列四个性质: ①f(x)为偶函数; ②曲线C不过原点O; ③曲线C在第一象限呈上升趋势; ④当x≥1时,f(x)≥1. 写出一个同时满足上述四个性质中三个性质的一个函数　　　　.  解析:常见的幂函数有y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=, y=x2满足性质①③④. 答案:f(x)=x2(答案不唯一) 10.已知点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点(-2,)在幂函数g(x)的图象上.问当x为何值时: (1)f(x)>g(x); (2)f(x)=g(x); (3)f(x)<g(x). 解:设f(x)=xα,由题意得,()α=2⇒α=2, 所以f(x)=x2.同理可得g(x)=x-2. 在同一平面直角坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的大致图象,如图. 由图象可知. (1)当x>1或x<-1时,f(x)>g(x). (2)当x=±1时,f(x)=g(x). (3)当-1<x<0或0<x<1时,f(x)<g(x). 11.已知幂函数f(x)=(m2-2m-2)在(0,+∞)上单调