2.2 基本不等式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习课时作业word（人教A版）

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 选题明细表 知识点、方法 题号 基本不等式的理解 1,2,8 应用基本不等式求最值 3,4,5,6,7,9,10 应用基本不等式 证明不等式及综合 11,12 基础巩固 1.若0<a<b,则下列不等式一定成立的是(　C　) A.a>>>b B.b>>>a C.b>>>a D.b>a>> 解析:因为0<a<b,所以2b>a+b,所以b>>.因为b>a>0, 所以ab>a2,所以>a.故b>>>a.故选C. 2.(多选题)已知实数a,b,判断下列不等式中一定正确的是(　CD　) A.≥ B.a+≥2 C.|+|≥2 D.2(a2+b2)≥(a+b)2 解析:当a<0,b<0时,≥不成立; 当a<0时,a+≥2不成立; |+|=||+||≥2, 2(a2+b2)-(a+b)2=a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,故2(a2+b2)≥(a+b)2,故选CD. 3.已知0<x<,则x(1-2x)的最大值为(　C　) A. B. C. D. 解析:因为0<x<,所以1-2x>0,所以x(1-2x)=×2x(1-2x)≤×()2=, 当且仅当2x=1-2x,即x=时,取等号, 故x(1-2x)的最大值为.故选C. 4.已知x>0,则3x+的最小值为(　D　) A.3 B.2 C.3 D.2 解析:因为x>0,所以3x+≥2=2, 当且仅当3x=,即x=时,取等号.故选D. 5.已知x>0,y>0,x+=8,则的最大值为(　B　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析:因为8=x+≥2=4, 所以≤2,即≤4, 当且仅当x=,即x=4,y=1时,等号成立, 所以的最大值为4.故选B. 6.已知x>-1,则2+3x+的最小值为　　　　,此时x为　　　　.  解析:因为x+1>0,所以2+3x+=3(x+1)+-1≥2-1=11, 当且仅当3(x+1)=,即x=1时,原式取最小值. 答案:11　1 能力提升 7.已知x<0,则4x+-1(　D　) A.有最大值3 B.有最小值3 C.有最小值-5 D.有最大值-5 解析:由x<0,可得-x>0,则4x+-1=-[(-4x)+]-1≤-2-1=-5, 当且仅当x=-时,上式取得等号,即4x+-1的最大值为-5.故选D. 8.(多选题)若实数a>0,b>0,a·b=1,则下列选项的不等式中,正确的有(　ABCD　) A.a+b≥2 B.+≥2 C.a2+b2≥2 D.+≥2 解析:由于a>0,b>0,a·b=1, 由基本不等式得a+b≥2=2, +≥2=2, a2+b2≥2ab=2, +≥2=2, 上述不等式当且仅当a=b=1时,等号成立.所以A,B,C,D四个选项都 正确.故选ABCD. 9.已知x>0,y>0,且x+y=8,则(1+x)(1+y)的最大值为　　　 　.  解析:因为x>0,y>0,所以1+x>0,1+y>0, 所以(1+x)(1+y)≤[]2=(+1)2=25,当且仅当x=y, 即x=y=4时取等号. 答案:25 10.(1)设x>-1,求函数y=的最小值; (2)已知a>b>c,+≥,求n的最大值. 解:(1)根据题意, y===(x+1)++5, 又由x>-1,得x+1>0, 得(x+1)+≥2=4, 当且仅当x+1=2时,等号成立, 则y=(x+1)++5≥9, 故函数y=的最小值为9. (2)根据题意,若a>b>c, 则a-b>0,b-c>0,a-c>0. 又由+≥, 则有n≤+. 又由a-c=(a-b)+(b-c), 则有n≤+, 故有n≤++2. 又由+≥2=2(当且仅当2b=a+c时,取等号), 故有++2≥4, 若n≤++2成立, 则必有n≤4,即n的最大值是4. 11.设a>0,b>0,c>0,证明: (1)+≥; (2)++≥++. 证明:(1)因为a>0,b>0, 所以(a+b)(+)≥2·2=4,当且仅当a=b时等号成立, 所以+≥. (2)由(1)可得+≥, 同理可得+≥,+≥, 三式相加,得2(++)≥++,所以++≥++. 应用创新 12.(多选题)设a>0,b>0,称为a,b的调和平均数,为a,b的平方平均数,如图,C为线段AB上的点,且AC=a,BC=b,O为AB中点,以AB为直径作半圆,过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD,过点C作OD的垂线,垂足为E,取弧的中点F,连接FC,则正确的是(　CD　) A.BD的长度是a,b的算术平均数 B.OE的长度是a,b的调和平均数 C.CD的长度是a,b的几何平均数 D.FC长度是a,b的平方平均数 解析:AC=a,BC=b,O是斜边AB的中点,过点C作AB的垂线交半圆于D, 对于