第六章 平面向量初步 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

章末总结 网络建构 知识辨析 判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”. 1.向量与有向线段是一样的,因此可以用有向线段来表示向量.(　×　) 2.|a|与|b|是否相等与a,b的方向无关.(　√　) 3.若向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　×　) 4.当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(　√　) 5.平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.(　×　) 6.一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底.(　√　) 7.平面向量的基底不唯一,但只要基底确定后,平面内的任何一个向量都可被这组基底唯一表示.(　√　) 8.已知向量a=(1,m),b=(m,1),则m=1是a∥b的充分不必要条件.(　√　) 题型一　平面向量的有关概念 [典例1] 给出下列命题: (1)若|a|=|b|,则a=b; (2)若A,B,C,D是不共线的四点,则=是四边形ABCD为平行四边形的充要条件; (3)若a=b,b=c,则a=c; (4)两向量a,b相等的充要条件是|a|=|b|且a∥b. 其中正确命题的序号是　　　　　.  解析:(1)不正确.两个向量的模相等,但它们的方向不一定相同, 因此由|a|=|b|推不出a=b. (2)正确.若=, 则||=||,且∥. 又因为A,B,C,D是不共线的四点, 所以四边形ABCD是平行四边形. 反之,若四边形ABCD是平行四边形, 则||∥||,且 与方向相同, 因此=. (3)正确.因为a=b,所以a,b的长度相等,且方向相同. 因为b=c,所以b,c的长度相等,且方向相同. 所以a,c的长度相等且方向相同,所以a=c. (4)不正确.当a∥b,但方向相反时, 即使|a|=|b|,也不能得到a=b, 故不是a=b的充要条件. 答案:(2)(3) [典例2] (多选题)已知向量a,b是同一平面α内的两个向量,则下列结论正确的是(　　) A.若存在实数λ,使得b=λa,则a与b共线 B.若a与b共线,则存在实数λ,使得b=λa C.若a与b不共线,则对平面α内的任一向量c,均存在实数λ,μ,使得c=λa+μb D.若对平面α内的任一向量c,均存在实数λ,μ,使得c=λa+μb,则a与b不共线 解析:根据平面向量共线的知识可知A选项正确.若a与b共线,可能a=0,当b为非零向量时,不存在实数λ,使得b=λa,所以B选项错误.根据平面向量基本定理可知C,D选项正确.故选ACD. 向量有关概念的关键点: (1)向量定义的关键是方向和长度. (2)非零共线向量的关键是方向相同或相反,长度没有限制. (3)相等向量的关键是方向相同,且长度相等. (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度. (5)零向量的关键是长度是0,规定零向量与任意向量共线. 题型二　向量的线性运算 [典例3] 如图所示,在△ABC中,点P满足=3,过点P的直线与AB,AC所在的直线分别交于点M,N,若=λ,=μ(λ>0,μ>0),则λ+μ的最小值为(　　) A.+1 B.+1 C. D. 解析:连接AP(图略), =+,=+. 因为=3, 所以-+=3(-), 所以=+. 因为=λ,=μ(λ>0,μ>0), 所以=+. 因为M,P,N三点共线, 所以+=1,λ>0,μ>0. 所以λ+μ=(λ+μ)(+)=1++≥1+2=+1, 当且仅当μ=λ时,取“=”,则λ+μ的最小值为+1.故选B. (1)进行向量运算时,要尽可能转化到平行四边形或三角形中,选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量,运用向量加、减法运算及数乘运算来求解. (2)除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外,有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的知识,把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解. 题型三　平面向量基本定理及其应用 [典例4] 如图所示,在△ABO中,=,=,AD与BC相交于点M.设=a,=b. (1)试用向量a,b表示 ; (2)在线段AC上取点E,在线段BD上取点F,使EF过点M,设=λ,=μ,求证:+=7. (1)解:不妨设=ma+nb,一方面,由于A,D,M三点共线,则存在α(α≠-1)使得=α,于是=,又=, 所以==a+b, 则即m+2n=1,① 另一方面,由于B,C,M三点共线, 则存在β(β≠-1)使得=β, 于是=,又=, 所以==a+b, 则即4m+n=1,② 由①②可得m=,n=,所以=a+b. (2)证明:由于E,M,F三点共线, 所以存在实数η(η≠-1)使得=η, 于是=, 又=λ,=μ, 所以==a+b, 于是a+b=a+b, 从而消去η, 解得+=7. 平面向量基本定理的实质及应用思路: (1)应用平面