6.2 向量基本定理与向量的坐标-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 学习目标 1.通过共线向量基本定理的学习,掌握共线向量基本定理及应用,提升逻辑推理和数学运算素养. 2.通过平面向量基本定理的推导,掌握平面向量基本定理,提升数学抽象、数学运算及分析问题、解决问题的素养. 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得b=λa. 在共线向量基本定理中: (1)b=λa时,通常称为b能用a表示. (2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=μ a,则有λ=μ. 思考1:若a=0且b∥a,是否存在实数λ,使得b=λa?若存在,这样的λ有多少个?什么时候λ不存在? 答案:当b=0时,存在实数λ,使得b=λa,这样的λ∈R,有无数多个;当b≠0时,λ不存在. 2.平面向量基本定理 (1)如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c=x a+yb,“唯一的实数对”是指c用a,b表示时,表达式唯一,即如果c=x a+y b=μ a+ν b,则x=μ且y=ν.  (2)基底:平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组基底,记为{a,b}. 若c=x a+y b,则称x a+y b为c在基底{a,b}下的分解式. 思考2:怎样的两个向量才能作为基底?平面向量的基底唯一吗? 答案:不共线的两个向量可以作为基底;基底不唯一.只要不共线的两个向量都可以作为基底. (1)对平面向量基本定理的理解: ①基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. ②基底给定时,分解形式唯一.如a=λ1e1+λ2e2,λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值. ③e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0. ④由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的向量. (2)对共线向量基本定理的再理解: 若,不共线,=λ+μ(λ,μ∈R),则A,P,B三点共线的充要条件为λ+μ=1. 　共线向量基本定理的应用 类型1:判断共线 [例1] (多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是(　　) A.a=5e1,b=7e1 B.a=e1-e2,b=3e1-2e2 C.a=e1+e2,b=3e1-3e2 D.a=e1-e2,b=3e1-e2 解析:对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=6×(e1-e2)=6a,所以a与b共线;对于C,显然找不到一个λ,使b=λa,故a与b不共线;对于D,b=3(e1-e2)=3a,所以a与b共线.故选ABD. 解决向量共线问题的两种方法 一是直接法,分别将要判断的向量表示出来,并观察能否找到实数λ,使b=λa,若能找到,则共线;若不能找到,则不共线. 二是“假设—检验”法,先假设向量共线,转化为向量和为0的形式,利用结论“对于λe1+μe2=0,若e1,e2不共线,则必有λ=μ=0”判断实数是否存在. 类型2:由向量共线求参数 [例2] 已知非零向量a与b不共线,=a,=b,=ta+3b. (1)若2+3-=0,求t的值; (2)若A,B,C三点共线,求t的值. 解:(1)因为2+3-=0, 所以2a+3b-(ta+3b)=0, 所以(2-t)a=0, 因为a≠0, 所以2-t=0,所以t=2. (2)因为A,B,C三点共线, 所以存在非零实数λ使=λ, 所以-=λ(-), 即b-a=λ[(ta+3b)-b]= λta+2λb. 因为a与b不共线, 所以所以t=-2. 利用共线向量基本定理,即b与a(a≠0)共线⇔b=λa,即可以证明点共线或向量共线问题,也可以根据共线求参数的值. 一般地,解决向量a,b共线问题,可用两个不共线向量(如e1,e2)表示向量a,b,设b=λa(a≠0),化成关于e1,e2的方程1(λ)e1+2(λ)e2=0,由于e1,e2不共线,则解方程组即可. 针对训练:已知两个非零向量a,b不共线,=a+b,=a+2b,=a+3b. (1)证明:A,B,C三点共线; (2)试确定实数k,使ka+b与a+kb共线. (1)证明:因为=a+b,=a+2b,=a+3b, 则=-=a+2b-(a+b)=b, 而=-=a+3b-(a+b)=2b, 于是=2,又,有公共点A, 所以A,B,C三点共线. (2)解:因为ka+b与a+kb共线,则存在实数λ, 使ka+b=λ(a+kb),即(k-λ)a=(λk-1)b. 又因为非零向量a,b不共线, 所以一定有解得k=±1. 　用基底表示向量 [例3] 如图, 在平行四边形ABCD中,设对角线=a,=b,试用基底{a,b}表示,. 解