5.2 数学探究活动 由编号样本估计总数及其模拟-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

5.2　数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟

学习目标

1.通过对收集的数据分析处理,培养学生数据分析和数学运算的核心素养.

2.在分析、处理数据的过程中,经历建模过程与方法,提升学生对数学建模基本方法和基本活动经验,进而提升逻辑推理能力.

1.活动背景介绍与要求

日常生活中,为了方便管理,人们经常会对人或物进行连续编号(即编号为001,002,003,…).

当对人或物进行连续编号后,知道编号的最大值就能方便地知道总数是多少.

附:由编号样本估计总数活动记录表:

2.活动提示

要完成的任务可以简述为:假设已有的编号样本从小到大依次为x1,x2,…,xm,由这些样本怎样去估计总数n.

(1)最大值估计:n的值一定不会小于编号中的最大值,所以可以用编号中的最大值作为n的一个估计,即n≈xm.

(2)平均值估计:考虑到样本的平均数与总体的平均数应该相差不大,因此可用样本平均数来给出n的一个估计.记=,又因为=,所以有≈,从而可以用大于或等于2-1的最小整数作为n的估计.

(1)中位数估计

用样本中位数估计总体中位数的统计思想,可以考虑用随机抽到的数据的中位数近似总体中位数,进而得到n的估计值.

假设已有编号样本从小到大依次为x1,x2,…,xm.

①当m为奇数时,样本的中位数是,而总体的中位数为,根据样本中位数近似总体中位数思想,有≈,从而n≈2-1.

②当m为偶数时,样本的中位数是,而总体的中位数为,此时有≈,从而n≈+-1.

(2)用区间长度法估计(供参考)

方向1:样本将n个数据分为几段,端点选取不同,可以得到不同的估计值,把区间[1,n]分为m+1个小区间,(1,x1),(x1,x2),…,(xm,n),如图所示,试求估计值n.

解:这m+1个区间的长度均值为,前m个区间的平均长度为,因为样本是随机抽取的,所以两者应该是相差不大,即≈,

得到估计值n≈+1,

整理得n≈-.

方向2:若将区间按[1,n]进行划分,忽略了x1可能取到1的情形,因此考虑到把区间[1,n]改为[0,n],即把区间[0,n]分为m+1个小区间(0,x1),(x1,x2),…,(xm,n),如图所示,试求估计值n.

解:利用前m个区间的长度的均值近似所有m+1个区间长度的均值,

即≈,得到估计值n≈.

方向3:对于方向2对方向1的改进过程中,只考虑到左侧第一个点x1可能取到1,而没有考虑到右侧最后一个点xm可能取到n.因此对方向2进一步改进.将区间[0,n]改为[0,n+1],估计n时,把(0,x1)看作一个区间,把(xm,n+1)看作一个区间,中间区间分别为(x1,x2),(x2,x3),…,(xm-1,xm).如图所示,试求估计值n.