4.6—4.7 函数的应用(二) 数学建模活动生长规律的描述-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

4.6　函数的应用(二)

4.7　数学建模活动:生长规律的描述

学习目标

1.通过运用指数函数、对数函数和幂函数的性质来解决生活中的简单的实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养.

2.通过函数模型在社会生活及科研的广泛应用,培养数学的应用意识及分析问题、解决问题的能力,提升数学建模的核心素养.

3.通过具体实例,了解数学建模的步骤.

4.能够利用给出的表格、数据,建立基本数学模型,通过提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来提升数据处理、数学运算、数学建模等方面的核心素养.

几种常见的函数模型

思考1:建立函数模型解决问题有哪些基本过程?

答案:

思考2:构建函数模型应主抓哪几个关键?

答案:构建模型时主要抓住四个关键:

①求什么,就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务.

②设什么,就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量.

③列什么,就是把问题的已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等.

④限制什么,主要是指自变量应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如生产的零件不能是半个等.

(1)解决实际应用问题的四大步骤:

①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;

②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;

③求模:求解数学模型,得出数学结论;

④还原:将数学问题还原为实际问题.

(2)函数拟合与预测的一般步骤:

①根据原始数据、表格,绘出散点图;

②通过考查散点图,画出拟合直线或拟合曲线;

③求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式;

④利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据.

　指数函数模型

[例1] 在十九大报告中,提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1).

(1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍,请用a,n表示x.