4.6—4.7 函数的应用(二) 数学建模活动生长规律的描述-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

4.6　函数的应用(二) 4.7　数学建模活动:生长规律的描述 学习目标 1.通过运用指数函数、对数函数和幂函数的性质来解决生活中的简单的实际问题,提升数学建模、数学运算的核心素养. 2.通过函数模型在社会生活及科研的广泛应用,培养数学的应用意识及分析问题、解决问题的能力,提升数学建模的核心素养. 3.通过具体实例,了解数学建模的步骤. 4.能够利用给出的表格、数据,建立基本数学模型,通过提出问题、分析数据、建立模型、检验模型来提升数据处理、数学运算、数学建模等方面的核心素养. 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函 数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数, a>0,且a≠1,b≠0) 对数函 数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0) 幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0) 思考1:建立函数模型解决问题有哪些基本过程? 答案: 思考2:构建函数模型应主抓哪几个关键? 答案:构建模型时主要抓住四个关键: ①求什么,就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务. ②设什么,就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量. ③列什么,就是把问题的已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等. ④限制什么,主要是指自变量应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外,还要考虑变量的实际含义,如生产的零件不能是半个等. (1)解决实际应用问题的四大步骤: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; ②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型; ③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学问题还原为实际问题. (2)函数拟合与预测的一般步骤: ①根据原始数据、表格,绘出散点图; ②通过考查散点图,画出拟合直线或拟合曲线; ③求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式; ④利用函数关系式,根据条件对所给问题进行预测和控制,为决策和管理提供依据. 　指数函数模型 [例1] 在十九大报告中,提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略,包括“坚持人与自然和谐共生,加快生态文明体制改革,建设美丽中国”.目前我国一些高耗能低效产业(煤炭、钢铁、有色金属、炼化等)的产能过剩,将严重影响生态文明建设,“去产能”将是一项重大任务.十九大后,某行业计划从2018年开始,每年的产能比上一年减少的百分比为x(0<x<1). (1)设n年后(2018年记为第1年)年产能为2017年的a倍,请用a,n表示x. (2)若x=10%,则至少要到哪一年才能使年产能不超过2017的25%? 参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477. 解:(1)依题意得(1-x)n=a, 所以1-x=,即x=1-. (2)设n年后年产能不超过2017年的25%, 则(1-10%)n≤25%,即()n≤, 即nlg ≤lg ,即n(2lg 3-1)≤-2lg 2, 所以n≥,即n≥, 因为13<<14,且n∈N*,所以n的最小值为14, 所以至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%. 在实际问题中,常常遇到有关平均增长率的问题,如果原来产值的基础数为N,平均增长率为P,则对于时间x的总产值y,可以用公式y=N(1+P)x表示. 针对训练:某工厂产生的废气经过过滤后排放,过滤过程中废气的剩余污染物数量P(单位:mg/L)与过滤开始后的时间t(单位:h)的关系为P=P0e-kt.其中P0为过滤开始时废气的污染物数量,k为常数.如果过滤开始后经过5个小时消除了10%的污染物,试求: (1)过滤开始后经过10个小时还剩百分之几的污染物; (2)污染物减少50%所需要的时间.(计算结果参考数据:ln 2≈0.7,ln 3≈1.1,ln 5≈1.6) 解:(1)由P=P0e-kt可知,当t=0时,P=P0; 当t=5时,P=(1-10%)P0. 于是有(1-10%)P0=P0e-5k, 解得k=-ln 0.9,那么P=P0, 当t=10时,P=P0=P0eln 0.81=81%P0, 所以过滤开始后经过10个小时还剩81%的污染物. (2)当P=50%P0时,有50%P0=P0, 解得t===5·=5·≈35, 所以污染物减少50%所需要的时间为35个小时. 　对数函数模型及应用 [例2] 声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg 给出,其中I为声强(单位:W/m2). (1)平时常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级;