4.5 增长速度的比较-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

4.5　增长速度的比较 学习目标 1.通过平均变化率的学习,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义,提升数学建模的核心素养. 2.通过三种不同增长的函数模型差异的学习,理解同一函数在不同区间的增长变化趋势及不同函数在相同区间的增长变化趋势,培养逻辑推理的核心素养. 1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 定义式 = 实质 函数值的改变量与自变量的改变量之比 作用 比较函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢 2.几类不同增长的函数模型 (1)一次函数模型 一次函数模型y=kx(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度越来越快,形象地称为“爆炸式增长”. (3)对数函数模型 对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度越来越平缓. (4)幂函数模型 当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长速度就越快. 指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较 　　函数 性质　　 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞) 上的单调性 单调递增,且a越大,增长越快 单调递增,且a越小,增长越快 单调递增,且x>1时,n越大增长越快 增长速度 越来越快 越来越慢 —— 图像的变化 随x的增大图像越来越陡 随x的增大图像逐渐变平缓 图像走势与n值有关 选取上述三个增长函数模型时,应注意: (1)当描述增长速度越来越快时,常常选用指数函数模型. (2)当描述函数值不断增长,但不会增长到很大,增长速度不会越来越快时,常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长速度不同的变化,当0<n<1时,增长速度越来越慢;当n=1时,增长速度不变;当n>1时,增长速度越来越快. 　平均变化率的运算及其比较 [例1] 若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下列结论正确的是(　　) A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3 C.m2>m1>m3 D.m1<m2<m3 解析:函数f(x)=x在[0,1]上的平均变化率m1==1;函数g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率m2==1;函数h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率m3==1,所以m1=m2=m3.故选A. 平均变化率的大小比较的步骤: (1)求平均变化率=. (2)平均变化率化简后比较大小. 针对训练:函数y=f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率为2,则t=　　　　.  解析:函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是===2,即t2-t-6=2t+4化简得t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去),所以当函数f(x)=x2-x在区间[-2,t]上的平均变化率是2时,t的值是5. 答案:5 　同一函数在不同区间内的变化趋势 [例2] 巍巍泰山为我国的五岳之首,有“天下第一山”之美誉,在当地有用“紧十八,慢十八,不紧不慢又十八”的俗语来形容爬泰山十八盘的感受,下面是一段登山路线图.同样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力.想想看,为什么? 解:山路从A处到B处高度的平均变化率 kAB==, 山路从B处到C处高度的平均变化率 kBC==, 所以kBC>kAB, 所以山路从B处到C处比从A处到B处要陡峭得多. 故从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃力. 根据平均变化率的定义式求出平均变化率做出比较. 针对训练:路灯距地面8 m,一个身高为1.6 m的人以 84 m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线离开路灯. (1)求身影的长度y与人和路灯的距离x之间的关系式; (2)分析人离开路灯的第一个10 s内和第二个10 s内身影的变化哪个更快. 解:(1)如图所示,设人从C处运动到B处的路程为x m,AB为身影长度,AB的长度为y m, 由于CD∥BE,则=, 即=, 所以y=f(x)=x. (2)84 m/min=1.4 m/s, 在[0,10]内自变量的增量为 x2-x1=1.4×10-1.4×0=14, f(x2)-f(x1)=×14-×0=, 所以==, 即人离开路灯的第一个10 s内身影的平均变化率为; 在[10,20]内自变量的增量为x3-x2=1.4×20-1.4×10=14, f(x3)-f(x2)=×28-×14=, 所以==, 即人离开路灯的第二个10 s内身影的平均变化率为. 所以第一个10 s内和第