4.5 增长速度的比较-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）

4.5　增长速度的比较

学习目标

1.通过平均变化率的学习,理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义,提升数学建模的核心素养.

2.通过三种不同增长的函数模型差异的学习,理解同一函数在不同区间的增长变化趋势及不同函数在相同区间的增长变化趋势,培养逻辑推理的核心素养.

1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率

2.几类不同增长的函数模型

(1)一次函数模型

一次函数模型y=kx(k>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变.

(2)指数函数模型

指数函数模型y=ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越快,即增长速度越来越快,形象地称为“爆炸式增长”.

(3)对数函数模型

对数函数模型y=logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大,函数值增大的速度越来越慢,即增长速度越来越平缓.

(4)幂函数模型

当x>0,n>1时,幂函数y=xn是增函数,且当x>1时,n越大其函数值的增长速度就越快.

指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势比较

选取上述三个增长函数模型时,应注意:

(1)当描述增长速度越来越快时,常常选用指数函数模型.

(2)当描述函数值不断增长,但不会增长到很大,增长速度不会越来越快时,常常选用对数函数模型.

(3)幂函数模型y=xn(n>0)可以描述增长速度不同的变化,当0<n<1时,增长速度越来越慢;当n=1时,增长速度不变;当n>1时,增长速度越来越快.

　平均变化率的运算及其比较

[例1] 若函数f(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率分别记为m1,m2,m3,则下列结论正确的是(　　)

A.m1=m2=m3 B.m1>m2>m3

C.m2>m1>m3 D.m1<m2<m3

解析:函数f(x)=x在[0,1]上的平均变化率m1==1;函数g(x)=x2在[0,1]上的平均变化率m2==1;函数h(x)=x3在[0,1]上的平均变化率m3==1,所以m1=m2=m3.故选A.

平均变化率的大小比较的步骤:

(1)求平均变化率=.

(2)平均变化率化简后比较大小.