4.4 幂函数-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习全书word（人教B版）
4.4 幂函数
学习目标
1.通过幂函数概念与图像的学习,掌握幂函数的概念、图像和性质.培养数学抽象的核心素养.
2.通过作幂函数当α=1,2,3,
,-1时的五类幂函数的图像.掌握一般幂函数的各种性质,提升作图与识图、由特殊到一般的核心素养.
3.通过幂函数性质的学习,能利用幂函数的图像与性质解决综合问题,提升数学运算、逻辑推理的核心素养.
1.幂函数的概念
一般地,函数y=xα称为幂函数,其中α为常数.
思考1:幂函数y=xα与指数函数y=ax(a>0,且a≠1)有什么样的区别?
答案:幂函数y=xα的底数为自变量,指数是常数,而指数函数y=ax(a>0,且a≠1)正好相反,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)中,底数是常数,指数是自变量.
2.幂函数y=xα图像与性质的共同特征
(1)所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,因此在第一象限内都有图像,并且图像都通过点(1,1).
(2)如果α>0,则幂函数的图像通过原点,并且在区间[0,+∞)上是增函数.
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(3)如果α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上是减函数,且在第一象限内:当x从右边趋向于原点时,图像在y轴右方且无限地逼近y轴;当x无限增大时,图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
思考2:幂函数的图像能出现在第四象限吗?
答案:不能.由幂函数的解析式y=xα,知当x>0时,y=xα>0,所以幂函数的图像不经过第四象限.
3.五个常见幂函数的图像及性质
(1)图像
(2)五个常见幂函数的性质
函数 性质 | y=x | y= | y=x2 | y=x3 | y=x-1 |
定义域 | R | [0, +∞) | R | R | {x|x≠0} |
值域 | R | [0, +∞) | [0,+∞) | R | (-∞,0)∪ (0,+∞) |
奇偶性 | 奇函数 | 非奇非 | 偶函数 | 奇函数 | 奇函数 |
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| 偶函数 |
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单调性 | 在R 上是 增函 数 | 在[0, +∞) 上是 增函 数 | 在(-∞, 0)上是减 函数,在 [0,+∞) 上是 增函数 | 在R上 是增函 数 | 在(-∞, 0)上是 减函数, 在(0,+∞) 上是减 函数 |
公共点 | (1,1) | ||||
对幂函数的性质的补充说明
1.定义域:在(0,+∞)上都有定义,定义域与α的取值有关,要保证函数解析式有意义.
具体如下:
α的分类 | y=xα的定义域 | ||
α∈N+ | R | ||
α≤0,α∈Z | {x|x∈R,且x≠0} | ||
α=± (p,q互质,p,q∈N+,q>1) | α= | q是偶数 | [0,+∞) |
q是奇数 | R | ||
α=- | q是偶数 | (0,+∞) | |
q是奇数 | {x|x∈R,且x≠0} | ||
2.幂函数y=xα(α∈R)奇偶性的判断方法
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