第3章 函数的概念与性质 章末总结-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

章末总结 题型一　求函数的定义域 [例1] (1)函数f(x)=+(2x-1)0的定义域为(　　) A.(-∞,) B.(,1) C.(-,) D.(-∞,)∪(,1) (2)(2022·浙江杭州高一期末)已知函数f(x)的定义域为[2,8],则函数h(x)=f(2x)+的定义域为(　　) A.[4,16] B.(-∞,1]∪[3,+∞) C.[3,4] D.[1,3] (3)已知等腰△ABC的周长为10,则底边长y关于腰长x的函数关系为　　　　　　　,此函数的定义域为　　　　.  解析:(1)由题意得 解得x<1,且x≠.故选D. (2)因为f(x)的定义域为[2,8], 所以要使h(x)=f(2x)+有意义, 需满足解得1≤x≤3,所以h(x)的定义域为[1,3]. 故选D. (3)由题意知y=10-2x,0<y<10, 即0<10-2x<10, 解得0<x<5. 又底边长y与腰长x应满足2x>y, 即4x>10,x>.综上,<x<5. 答案:(1)D　(2)D　(3)y=10-2x　(,5) 求函数定义域的类型与方法 (1)已给出函数解析式:函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合. (2)实际问题:求函数的定义域既要考虑解析式有意义,还应考虑使实际问题有意义. (3)复合函数问题 ①若f(x)的定义域为[a,b],f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出. ②若f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为g(x)在[a,b]上的值域. 提醒:①f(x)中的x与f(g(x))中的g(x)地位相同;②定义域所指永远是自变量x的范围. [跟踪训练1] (1)函数f(x)=+的定义域是(　　) A.[-1,+∞) B.(-∞,0)∪(0,+∞) C.[-1,0)∪(0,+∞) D.R (2)已知f(x)的定义域是[0,+∞),则函数(x-2)0+f(x-1)的定义域是(　　) A.[0,2)∪(2,+∞) B.[1,2)∪(2,+∞) C.[-1,2)∪(2,+∞) D.[1,+∞) 解析:(1)由 解得-1≤x<0或x>0, 区间表示为[-1,0)∪(0,+∞).故选C. (2)由得1≤x,且x≠2.故选B. 题型二　求函数的解析式 [例2] (1)(2021·全国Ⅱ卷)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b,若f(0)+f(3)=6,则f()等于(　　) A.- B.- C. D. (2)已知f(x-1)=2x+5,则f(x)的解析式为　　　　;  (3)设f(x)是定义在R上的函数,且满足f(0)=1,并且∀x,y∈R,都有f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1),则f(x)=　　　　.  解析:(1)因为f(x+1)是奇函数, 所以f(-x+1)=-f(x+1),① 因为f(x+2)是偶函数, 所以f(x+2)=f(-x+2),② 令x=1,由①得f(0)=-f(2)=-(4a+b). 由②得f(3)=f(1)=a+b, 因为f(0)+f(3)=6, 所以-(4a+b)+a+b=6,得a=-2. 令x=0,由①得f(1)=-f(1), 故f(1)=-2+b=0,b=2. 所以f(x)=-2x2+2. 由①②得f(x)周期为4, 所以f()=f()=-f()=-[-2×()2+2]=.故选D. C (3)法一　由已知条件得f(0)=1, 又f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1), 设y=x,则f(x-y)=f(0)=f(x)-x(2x-x+1)=1,所以f(x)=x2+x+1. 法二　令x=0,得f(0-y)=f(0)-y(-y+1), 即f(-y)=1-y(-y+1), 将-y 用x代换得f(x)=x2+x+1. 答案:(1)D　(2)f(x)=2x+7　(3)x2+x+1 求函数解析式的题型与相应的解法 (1)已知形如f(g(x))的解析式求f(x)的解析式,使用换元法或配凑法. (2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数,使用待定系数法). (3)含f(x)与f(-x)或f(x)与f(),使用解方程组法. (4)已知在一个区间的解析式,求另一个区间的解析式,可用奇偶性转移法. [跟踪训练2] (1)已知f(x)满足2f(x)+f()=3x,则f(x)=　　　　;  (2)函数f(x)为R上的奇函数,当x>0时,f(x)=-2x2+3x+1,则f(x)=　.  解析:(1) 所以①×2-②得3f(x)=6x-, 所以f(x)=2x-. (2)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=-2(-x)2+3(-x)+1=-2x2-3x+1. 由于f(x)是R上的奇函数,故f(x)=-f(-x),且f(0)=0,