5.3 三角函数的图象与性质-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

5.3　三角函数的图象与性质 5.3.1　正弦函数、余弦函数的图象与性质 核心知识目标 核心素养目标 1.能利用三角函数的定义,画出函数y=sin x,y=cos x的图象. 2.掌握“五点法”画y=sin x,y=cos x的图象的步骤和方法,能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解y=sin x与y=cos x图象之间的联系. 4.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 5.掌握函数y=sin x,y=cos x的奇偶性,会判断简单三角函数的奇偶性. 6.掌握y=sin x,y=cos x的最大值与最小值,并会求简单三角函数的值域和最值. 7.掌握y=sin x,y=cos x的单调性并能利用单调性比较大小. 1.通过对正弦函数、余弦函数的图象的学习与应用,提升直观想象、逻辑推理的核心素养. 2.利用y=sin x,y=cos x的图象,探索y=sin x,y=cos x的周期性、奇偶性,培养学生的直观想象、逻辑推理和数学抽象的核心素养. 3.借助y=sin x与y=cos x的图象,理清单调区间和取得最值的条件,强化学生直观想象、数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 第1课时　正弦函数、余弦函数的图象及周期性和奇偶性 1.正弦曲线和余弦曲线“五点法”作图步骤 (1)列表 x 0 π 2π sin x 0 1 0 -1 0 cos x 1 0 -1 0 1 (2)描点 画正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0); 画余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]的图象,五个关键点是(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1). (3)用光滑曲线顺次连接这五个点,得到正弦曲线、余弦曲线的简图. 2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性 (1)周期性 ①周期 一般地,对于函数y=f(x),如果存在非零常数T,使得当x取定义域内每一个值时,x±T都有定义,并且f(x±T)=f(x), 则称这个函数y=f(x)为周期函数,T称为这个函数的一个周期. 如果T是函数y=f(x)的周期,则T的所有非零整数倍都是y=f(x)的周期. ②y=sin x和y=cos x的周期 y=sin x,y=cos x都是周期函数,2π及2π的所有非零整数倍也都是它们的周期.但从图象上可以看出,比2π更小的正数不可能是y=sin x,y=cos x的周期.我们称2π是y=sin x,y=cos x的最小正周期.最小正周期常简称为周期. (2)奇偶性 正弦函数y=sin x是奇函数, 余弦函数y=cos x是偶函数. 1.用“五点法”作y=2sin x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(　A　) A.0,,π,,2π B.0,,,,π C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,, 解析:由五点作图法可知,首先描出的五个点的横坐标为x=0,,π,,2π.故选A. 2.函数y=-sin x,x∈[-,]的简图是(　D　) 解析:可以用特殊点来验证.当x=0时,y=-sin 0=0,排除A,C;当x=时,y=-sin =1,排除B.故选D. 3.函数f(x)=2cos 2x的最小正周期是(　C　) A. B. C.π D.2π 解析:函数f(x)=2cos 2x的最小正周期是=π.故选C. 4.函数y=4sin(2x+π)的图象关于　　　　对称.  解析:y=4sin(2x+π)=-4sin 2x,易证函数为奇函数,所以其图象关于原点对称. 答案:原点 　“五点法”作图的应用 [例1] 用“五点法”作出函数y=1-2sin x,x∈[-π,π]的简图并观察函数图象,写出满足下列条件的x的区间. (1)y>1;(2)y<1. 解:找到五个关键点,列表如下 x -π - 0 π sin x 0 -1 0 1 0 1-2sin x 1 3 1 -1 1 描点并连线得 由图可知图象在y=1上方时y>1, 在y=1下方时y<1, 所以(1)当x∈(-π,0)时,y>1; (2)当x∈(0,π)时,y<1. [即时训练1-1] 利用“五点法”作出函数y=-1-cos x(0≤x≤2π)的简图. 解:取值列表如下: x 0 π 2π cos x 1 0 -1 0 1 -1-cos x -2 -1 0 -1 -2 描点连线,如图所示. 用“五点法”画函数y=Asin x+b(A≠0)或y=Acos x+b(A≠0)在[0,2π]上简图的步骤 (1)列表: x sin x(或cos x) y 0 0(或1) b(或A+b) 1(或0)