5.1 任意角与弧度制-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

5.1　任意角与弧度制 5.1.1　角的概念的推广 核心知识目标 核心素养目标 1.结合实例,了解角的概念的推广及其实际意义. 2.理解象限角的概念,并掌握终边相同角的含义及其表示. 1.通过角的概念的推广过程,经历由具体到抽象,重点发展学生的数学抽象、直观想象的核心素养. 2.通过象限角及终边相同角的应用,加强逻辑推理、数学运算的核心素养的培养. 1.角的概念的推广 (1)角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着其端点从初始位置旋转到终止位置所成的图形. (2)角的分类:按旋转方向可将角分为如下三类: 名称 定义 图形 正角 以逆时针方向旋转所成的角 负角 以顺时针方向旋转所成的角 零角 一条射线不旋转所成的角 (3)任意角:任意角包括正角、零角和负角. 2.象限角 角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的非负半轴,那么,角的终边(除端点外)落在第几象限,就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限. 3.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合{β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整数个周角的和. 1.角-120°的终边所在象限是(　C　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为-120°=-360°+240°, 又因为角240°终边在第三象限, 所以角-120°的终边在第三象限. 故选C. 2.与-60°角的终边相同的角是(　A　) A.300° B.240° C.120° D.60° 解析:因为-60°=-360°+300°,所以与-60°角的终边相同的角是300°.故选A. 3.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置,由OB位置顺时针旋转270°到达OC位置,则∠AOC等于　　　　.  解析:各角和的旋转量等于各角旋转量的和.所以120°+(-270°)=-150°. 答案:-150° 4.12点过小时的时候,时钟分针与时针的夹角是　　　　.  解析:时钟上每个大刻度为30°,12点过小时,分针转过-90°,时针转过-7.5°,故时针与分针的夹角为82.5°. 答案:82.5° 　角的概念辨析 [例1] 下列命题正确的是(　　) A.第一象限的角一定不是负角 B.小于90°的角一定是锐角 C.钝角一定是第二象限的角 D.终边相同的角一定相等 解析:-300°是第一象限角,且是负角,故选项A错;-45°<90°,但-45°不是锐角,故选项B错;钝角的集合是{α|90°<α<180°},是第二象限角,故选项C正确;-45° 与315°是终边相同的角,但不相等,故选项D错.故选C. [即时训练1-1] 已知集合A={第一象限角},B={锐角},C={小于90°的角},则下面的关系正确的是(　　) A.A=B=C B.A⊆C C.A∩C=B D.(B∪C)⊆C 解析:第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z;锐角可表示为0°<β<90°;小于90°的角可表示为γ<90°;由三者之间的关系可知选D. 判断角的概念问题的关键与技巧 (1)关键:正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念. (2)技巧:判断命题为真需要证明,而判断命题为假只要举出反例即可. 　终边相同角的理解 探究角度1　求与已知角终边相同的角 [例2] 已知角α=45°,在-720°～0°范围内找出所有与角α终边相同的角β. 解:所有与角α有相同终边的角可表示为 β=45°+k×360°(k∈Z), 则令-720°≤45°+k×360°<0°, 得-765°≤k×360°<-45°, 解得-2≤k<-. 从而k=-2或k=-1, 代入得β=-675°或β=-315°. [即时训练2-1] 在与530°角终边相同的角中,求满足下列条件的角. (1)最大的负角; (2)最小的正角; (3)在[-720°,-360°]内的角. 解:与530°角终边相同的角为170°+k·360°,k∈Z. (1)当k=-1时,得到最大的负角为 170°-360°=-190°. (2)当k=0时,得到最小的正角为170°. (3)当k=-2时,得到大于等于-720°,且小于等于-360°的角为170°-2×360°=-550°. 在给定的区间内寻找与某特定角度终边相同角的方法 (1)将所求的角β化为k·360°+α的形式(k∈Z),其中的α就是所给的角. (2)根据所给的区间及k·360°+α(k∈Z),寻找k的取值范围. 探究角度2　终边在射线(或直线)上角的集合 [例3] 分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合. 解:①在0°～360°范围内,终边在直线y=0上的角