4.5 函数模型及其应用-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

4.5　函数模型及其应用 4.5.1　几种函数增长快慢的比较 4.5.2　形形色色的函数模型 核心知识目标 核心素养目标 1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义. 2.会利用已知函数模型解决实际问题. 3.能建立函数模型解决实际问题. 通过对函数模型的应用的学习,提升数学抽象、逻辑推理、数学运算的核心素养. 1.几种函数增长快慢的比较 　　函数 性质　　　　 y=ax (a>1) y=logax(a>1) y=xα (α>0) 在(0,+∞) 上的单调性 增函数 增函数 增函数 增长的速度 先慢后快 先快后慢 相对 平稳 图象的变化 随着x的增大逐渐加快增大 随着x的增大逐渐减慢增大 随α值的不同而不同 注意:在区间(0,+∞)上,a>1,α>0,总会存在一个x0,当x>x0时,就有logax<xα<ax. 2.常见函数模型 常 见 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y=ax+b(a,b为常数,a≠0) (2)二次函数模型 y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) (3)指数函数模型 y=a·bx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,且b≠1) (4)对数函数模型 y=mlogax+n(m,a,n为常数,m≠0,a>0,且a≠1) (5)幂函数模型　 y=axα+b(a,b为常数,a≠0) (6)分段函数模型 y= 3.数学建模的步骤 (1)正确理解并简化实际问题:了解问题的实际背景,明确其实际意义,掌握对象的各种信息.根据实际对象的特征和建模的目的,对问题进行必要的简化,并用精确的语言提出一些恰当的假设. (2)建立数学模型:在上述基础上,利用适当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系,建立相应的数学结构. (3)求得数学问题的解. (4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较,验证模型的准确性、合理性和适用性. 1.下表显示了函数值y随自变量x变化的一组数据,由此可判断它最可能符合的函数模型为(　C　) x -2 -1 0 1 2 y 1 4 16 A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型 解析:题表中数据体现爆炸式增长,符合的函数模型为指数函数模型.故选C. 2.某种动物繁殖的数量y(单位:只)与时间x(单位:年)的关系为y=alog2(x+1),设这种动物第1年有100只,到第7年它们发展到(　A　) A.300只 B.400只 C.500只 D.600只 解析:由已知第1年有100只,得a=100.将a=100,x=7代入y=alog2(x+1),得y=300.故选A. 3.2020年我国人口总数约为14亿,如果人口的自然年增长率控制在1.25%,则预计　　　　年我国人口将首次超过20亿(lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,lg 7≈0.845 1).  解析:设x年我国人口将超过20亿,由已知条件14(1+1.25%)x-2 020>20,x-2 020>=≈28.7,则x>2 048.7,则预计2 049 年我国人口将首次超过20亿. 答案:2 049 　函数模型的增长差异 [例1] 四个变量y1,y2,y3,y4随变量x变化的数据如表: x 1 5 10 15 20 25 30 y1 2 26 101 226 401 626 901 y2 2 32 1 024 37 768 1.05 ×106 3.36 ×107 1.07 ×109 y3 2 10 20 30 40 50 60 y4 2 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907 关于x呈指数型函数变化的变量是　　　　.  解析:以爆炸式增长的变量呈指数型函数变化.从题表中可以看出,四个变量y1,y2,y3,y4均是从2开始变化,且都是越来越大,但是增长速度不同,其中变量y2的增长速度最快,因此可知y2关于x呈指数型函数变化. 答案:y2 [即时训练1-1] 今有一组实验数据如表: t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律,其中最接近的一个是(　　) A.v=log2t B.v=lot C.v= D.v=2t-2 解析:从题表中看到此函数为增函数,排除B,增长速度越来越快,排除A和D.故选C. 常见的函数模型及增长特点 (1)一次函数模型 一次函数模型y=ax+b(a>0)的增长特点是直线上升,其增长速度不变. (2)指数函数模型 指数函数模型y=