2.3 一元二次不等式-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册同步全程学习全书word（湘教版）

2.3　一元二次不等式 2.3.1　一元二次不等式及其解法 核心知识目标 核心素养目标 1.了解一元二次不等式的实际意义.能借助一元二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集. 2.借助一元二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系. 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,达成数学抽象和数学建模的核心素养. 2.从一元二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的相互联系,求解一元二次不等式及与一元二次不等式有关的恒成立问题,发展直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养. 1.一元二次不等式 (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式. (2)一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c(a>0)的图象 ax2+bx+c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根x1,x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1=x2=- 没有 实数根 ax2+bx+c>0(a>0)的解集 {x|x<x1,或x>x2} {x|x∈R且x≠-} R ax2+bx+c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} 3.分式不等式的解法 类型 同解不等式 >0(<0) (其中a,b,c,d为常数) 法一: 或 法二: (ax+b)(cx+d)>0(<0) ≥0(≤0) 法一: 或 法二: >k(<k,≥k,≤k)(其中k为非零实数) 先移项通分转化为上述两种形式 1.不等式x2-5x+6<0的解集是(　D　) A.{x|x>1或x<-6} B.{x|x>6或x<-1} C.{x|x>3或x<2} D.{x|2<x<3} 解析:不等式x2-5x+6<0化为(x-2)(x-3)<0,解得2<x<3, 所以不等式的解集是{x|2<x<3}.故选D. 2.不等式-3x2+5x-4>0的解集为　　　　.  解析:原不等式变形为3x2-5x+4<0. 因为Δ=(-5)2-4×3×4=-23<0,所以3x2-5x+4=0无解.由函数y=3x2-5x+4的图象可知,3x2-5x+4<0的解集为,即原不等式的解集为. 答案: 3.若关于x的不等式x2-3ax+2>0的解集为{x|x<1 或x>m},则a+m等于　　　　.  解析:由题意知,1和m是方程x2-3ax+2=0的两个根, 则由根与系数的关系,得解得 所以a+m=3. 答案:3 4.已知一元二次不等式ax2+2x-1<0的解集为R,则a的取值范围是　　　　.  解析:由题意知 所以 所以a<-1. 答案:{a|a<-1} 　解不含参数的一元二次不等式 [例1] 解不等式: (1)2x2-3x-2>0; (2)-3x2+6x-2>0; (3)4x2-4x+1≤0; (4)x2-2x+2>0. 解:(1)方程2x2-3x-2=0的解是x1=-,x2=2. 画出二次函数y=2x2-3x-2的图象(如图(1)),结合图象得不等式2x2-3x-2>0的解集是{x|x<-,或x>2}. (2)不等式可化为3x2-6x+2<0, 对应方程3x2-6x+2=0. 因为Δ=36-4×3×2=12>0,所以该方程有两个实数根.解得x1=1-,x2=1+. 画出二次函数y=3x2-6x+2的图象(如图(2)),结合图象得不等式3x2-6x+2<0的解集是 {x|1-<x<1+}. 所以不等式-3x2+6x-2>0的解集是 {x|1-<x<1+}. (3)方程4x2-4x+1=0的解是x1=x2=, 画出二次函数y=4x2-4x+1的图象(如图(3)),结合图象得不等式4x2-4x+1≤0的解集是{x|x=}. (4)因为x2-2x+2=0的判别式Δ<0, 所以方程x2-2x+2=0无解. 画出二次函数y=x2-2x+2的图象(如图(4)),结合图象得不等式x2-2x+2>0的解集为R. [即时训练1-1] 解下列不等式: (1)3x2+2x>2-3x;(2)9x2-6x+1>0; (3)-2x2+x+1<0;(4)x2-4x+5<0. 解:(1)原不等式移项整理, 得3x2+5x-2>0. 因为Δ=49>0,方程3x2+5x-2=0有两个实数解,即x1=-2,x2=. 然后,画出函数y=3x2+5x-2的图象如图(1),由图象得不等式的解集为{x|x<-2或x>}. (2)因为Δ=0,方程9x2-6x+1=0有两个相等实数根,即x1=x2=. 函数y=9x2-6x+1的图象是开口向上的抛物线(如图(2)),与x轴仅有一个交点(,0).