6.2 向量基本定理与向量的坐标-【导与练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册同步全程学习课件PPT（人教B版）

6.2　向量基本定理与向量的坐标 6.2.1　向量基本定理 数学 学习目标 1.通过共线向量基本定理的学习,掌握共线向量基本定理及应用,提升逻辑推理和数学运算素养. 2.通过平面向量基本定理的推导,掌握平面向量基本定理,提升数学抽象、数学运算及分析问题、解决问题的素养. 数学 知识梳理·自主探究 师生互动·合作探究 数学 知识梳理·自主探究 知识探究 1.共线向量基本定理 如果a≠0且b∥a,则存在唯一的实数λ,使得 . 在共线向量基本定理中: (1)b=λa时,通常称为b能用a表示. (2)其中的“唯一”指的是,如果还有b=μ a,则有 . 思考1:若a=0且b∥a,是否存在实数λ,使得b=λa?若存在,这样的λ有多少个?什么时候λ不存在? 答案:当b=0时,存在实数λ,使得b=λa,这样的λ∈R,有无数多个;当b≠0时,λ不存在. b=λa λ=μ 数学 2.平面向量基本定理 (1)如果平面内两个向量a与b不共线,则对该平面内任意一个向量c,存在唯一的实数对(x,y),使得c= ,“唯一的实数对”是指c用a,b表示时,表达式唯一,即如果c=x a+y b=μ a+ν b,则 .  (2)基底:平面内不共线的两个向量a与b组成该平面上向量的一组 ,记为{a,b}. 若c=x a+y b,则称x a+y b为c在基底{a,b}下的分解式. 思考2:怎样的两个向量才能作为基底?平面向量的基底唯一吗? 答案:不共线的两个向量可以作为基底;基底不唯一.只要不共线的两个向量都可以作为基底. x a+yb x=μ且y=ν 基底 数学 拓展总结 (1)对平面向量基本定理的理解: ①基底不唯一,只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底.同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的. ②基底给定时,分解形式唯一.如a=λ1e1+λ2e2,λ1,λ2是被a,e1,e2唯一确定的数值. ③e1,e2是同一平面内所有向量的一组基底,则当a与e1共线时,λ2=0;当a与e2共线时,λ1=0;当a=0时,λ1=λ2=0. ④由于零向量与任何向量都是共线的,因此零向量不能作为基底中的 向量. 数学 数学 师生互动·合作探究 探究点一 共线向量基本定理的应用 数学 数学 方法总结 解决向量共线问题的两种方法 一是直接法,分别将要判断的向量表示出来,并观察能否找到实数λ,使b=λa,若能找到,则共线;若不能找到,则不共线. 二是“假设—检验”法,先假设向量共线,转化为向量和为0的形式,利用结论“对于λe1+μe2=0,若e1,e2不共线,则必有λ=μ=0”判断实数是否存在. 数学 数学 数学 方法总结 数学 数学 数学 探究点二 用基底表示向量 数学 数学 方法总结 (1)用基底表示平面内任意向量的关键是在进行运算时,把所要表示的向量放在某一个三角形或平行四边形中,通过加减或数乘运算将所求向量用基底表示出来. (2)当要表示的向量不好直接用基底表达时,为了降低问题的难度,可以应用列方程组的思想求解. 数学 数学 数学 探究点三 平面向量基本定理的应用 数学 数学 数学 方法总结 平面向量基本定理揭示了平面向量的基本结构,即平面内任一向量都可以表示为这个平面内两个不共线向量的线性组合.只要是同一平面内两个不共线的向量都可以作为一组基底,基底选择是不唯一的,但一旦选定了一组基底,则给定向量按照基底的分解是唯一的. 数学 数学 数学 学海拾贝 数学 数学 素养提升 数学 数学 当堂检测 A 数学 D 数学 C 数学 BC 解析:由平面向量基本定理可知,A,D是正确的.对于B,由平面向量基本定理可知,若一个平面的基底确定,则任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的.对于C,当λ1=λ2=0或μ1=μ2=0时不成立.故选BC. 数学 点击进入 课时训练·分层突破 数学 (2)对共线向量基本定理的再理解: 若,不共线,=λ+μ(λ,μ∈R),则A,P,B三点共线的充要条件为λ+μ=1. 类型1:判断共线 [例1] (多选题)已知e1,e2是不共线向量,则下列各组向量中是共线向量的是(　　) A.a=5e1,b=7e1 B.a=e1-e2,b=3e1-2e2 C.a=e1+e2,b=3e1-3e2 D.a=e1-e2,b=3e1-e2 解析:对于A,a与b显然共线;对于B,因为b=3e1-2e2=6×(e1-e2)=6a,所以a 与b共线;对于C,显然找不到一个λ,使b=λa,故a与b不共线;对于D, b=3(e1-e2)=3a,所以a与b共线.故选ABD. 类型2:由向量共线求参数 [例2] 已知非零向量a与b不共线,=a,=b,=ta+3b. (