4.4.3不同函数增长的差异 课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A 版（2019）必修第一册

同学们，等你们大学毕业了，显然要面对一个现实的问题，那就是如何使你的收入最大化， 如果你现在手里有一笔资金可以用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报是这样的： 方案一：每天回报40元； 方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元； 方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番. 请问，你会选择哪种投资方案？ 为了解决这个问题，让我们一起开始今天的探究吧！ 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 4.4.3不同函数增长的差异 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 学习目标 1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型. 2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义. 3.能根据具体问题选择合适的函数模型. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 在前面的学习中，我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大的差异.事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映. 因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律. 下面研究一次函数，指数函数和对数函数增长方式的差异。 我们采用由特殊到一般，由具体到抽象的研究方法 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 探究： 选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间［0，＋∞）上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？ 不妨以 和 为例. 列出上述两个函数的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ... ... ... 综上：虽然函数y=2x与y=2x都是增函数，但是它们的增长速度不同，函数y=2x的增长速度不变，但是y=2x的增长速度改变，先慢后快 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 下面在更大的范围内，观察 和 的增长情况. 列出上述更大范围的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象 0 2 4 6 8 10 12 ... ... ... 当自变量x越来越大时，函数y=2x图象就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，而函数y=2x增长速度依然不变，与函数y=2x的增长速度相比几乎微不足道。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 综上所述：函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上增长快慢的不同如下： 虽然函数y=2x与y=2x在[0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在一个“档次”. 随着x的增大，y=2x的增长速度越来越快，会超过并远远大于y=2x的增长速度. 尽管在x的一定范围内，2x<2x，但由于y=2x的增长最终会快于y=2x的增长， 因此，总会存在一个x0，当x>x0时，恒有2x>2x. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 一般地指数函数y=ax(a>1)与一次函数y=kx(k>0)的增长都与上述类似 即使k值远远大于a值，指数函数y=ax(a>1)虽然有一段区间会小于y=kx(k>0)，但总会存在一个x0， 当x>x0时， y=ax(a>1)的增长速度会大大超过y=kx(k>0)的增长速度. 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 探究： 选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间（0，＋∞）上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？ 不妨以函数 和 为例. 列出上述两个函数的对应值表，并在同一直角坐标系中画出它们的图象 0 不存在 10 20 30 40 50 60 ... ... ... 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 虽然函数y=lgx与 在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度存在明显差异. 在(0,+∞)上增长速度不变， y=lgx在(0,+∞)上的增长速度在变化. 当x>10时，y=lgx与 相比增长得就很慢了。 转变观念 改革课堂 服务学生 成就辉煌 随着x的增大， 的图象离x轴越来越远，而函数y=lgx的图象越来越平缓，就像与x轴平行一样. 一般地，虽然对数函数 与一次函数 y=kx(k>0)在(0,+∞)上都是单调递增，但它们的增长速度不同. 随着x的增大，一次函数y=kx(k>0)保持固定的增长速度，而对数函数 的增长速度越来越慢. 不论