期末难点特训（一） 和相似综合有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

期末难点特训一（和相似综合有关的压轴题） 1．已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是线段BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连结CF，设BE＝m． (1)如图，当m时，求线段CF的长； (2)当点E在BC线段上（不含B、C）运动时，∠QEF与∠CEF是否相等？请说明理由； (3)在（2）的条件下，请你求出点P到QE的距离h，用含m的代数式表示h，并求h的最大值． 【答案】(1)CF (2)相等，理由见解析 (3)h＝﹣m2+m， h最大值为 【分析】（1）连接CF，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，利用AAS证明△ABE≌△EGF，得BE＝FG，AB＝EG，则BE＝FG＝CG＝，从而得出答案； （2）延长EB，使BM＝DQ，连接AM，首先由SAS证明△ABM≌△ADQ，得AM＝AQ，再利用SAS证明△QAE≌△MAE，得∠AEM＝∠AEQ，得出∠BAE＝∠QEF，从而证明结论； （3）利用两个角相等，证明△ABE∽△ECP，得 ，则h＝PC＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，利用二次函数的性质即可得出答案． (1) 解：连接CF，过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G，如图3， ∵AE＝EF，∠AEF＝90°， ∴∠AEB+∠FEG＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠BAE＝∠FEG， ∴△ABE≌△EGF（AAS）， ∴BE＝FG，AB＝EG， ∴BE＝FG＝CG， ∴CF； (2) 证明：相等， 理由如下： 延长EB，使BM＝DQ，连接AM，如图4， ∵AB＝AD，∠ABM＝∠ADQ＝90°，BM＝DQ， ∴△ABM≌△ADQ（SAS）， ∴AM＝AQ， ∴∠BAM＝∠DAQ， ∴∠EAM＝∠QAE，AE＝AE， ∴△QAE≌△MAE（SAS）， ∴∠AEM＝∠AEQ， ∵∠AEB+∠BAE＝90°，∠AEQ+∠QEF＝90°， ∴∠BAE＝∠QEF， ∵∠BAE＝∠CEF， ∴∠QEF＝∠CEF； (3) 解：∵∠QEF＝∠CEF， ∴点P到QE的距离h＝PC， ∵∠BAE＝∠CEF，∠ABE＝∠PCE＝90°， ∴△ABE∽△ECP， ∴ ， 即， ∴h＝PC＝﹣m2+m＝﹣（m）2， ∴当m时，h最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 2．【探究发现】 (1)如图①，已知四边形ABCD是正方形，点E为CD边上一点（不与端点重合），连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD'的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD′，D'E． ①小明探究发现：当点E在CD上移动时，△BCE≌△DCF．并给出如下不完整的证明过程，请帮他补充完整． 证明：延长BE交DF于点G． ②进一步探究发现，当点D′与点F重合时，∠CDF＝　 　°． 【类比迁移】 (2)如图②，四边形ABCD为矩形，点E为CD边上一点，连接BE，作点D关于BE的对称点D'，DD′的延长线与BC的延长线交于点F，连接BD'，CD'，D'E．当CD'⊥DF，AB＝2，BC＝3时，求CD'的长； 【拓展应用】 (3)如图③，已知四边形ABCD为菱形，AD＝，AC＝2，点F为线段BD上一动点，将线段AD绕点A按顺时针方向旋转，当点D旋转后的对应点E落在菱形的边上（顶点除外）时，如果DF＝EF，请直接写出此时OF的长． 【答案】(1)①见解析；②22.5° (2) (3)或 【分析】（1）①延长BE交DF于点G，则由对称可知∠EGD=∠EGD'=90°，结合∠DEG=∠BEC得到∠EBC=∠EDF，由正方形的性质得到∠BCE=∠DCF、BC=DC，从而证明△BCE≌△DCF； ②当点D'与点F重合时，由对称可知∠DBG=∠D'BG=22.5°，然后由①得到∠EDF=∠EBC=22.5°； （2）延长BE交DF于点G，由对称可知点G是DD'的中点、∠EGD=∠EGD'=90°，结合CD'⊥DF得到CD'∥BG，从而有EG是△DCD'的中位线，得到点E是CD的中点，从而求得CE=DE=1，再由勾股定理求得BE的长；由（1）①得∠EBC=∠FDC，∠ECB=∠EGD=90°得到△ECB∽△EGD，进而借助相似三角形的性质求得EG的长，然后由中位线的性质求得CD'的长； （3）以点A为圆心，AD的长为半径作圆弧，与CD和BC的交点即为点E，然后分点E在CD上和点E在BC上讨论，延长AF交DE于点G，然后借助（1）（2）的思路求解． (1) 解：①证明：如图①，延长由对称可知，∠EGD=∠EGD'=90°， ∵∠DEG=∠BEC， ∴∠EBC