期末难点特训（三） 和二次函数综合有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

期末难点特训三（和二次函数综合有关的压轴题） 1．如图1，抛物线y=mx2﹣3mx+n（m≠0）与x轴交于点（﹣1，0）与y轴交于点B（0，3），在线段OA上有一动点E（不与O、A重合），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P． （1）分别求出抛物线和直线AB的函数表达式； （2）连接PA、PB，求△PAB面积的最大值，并求出此时点P的坐标． （3）如图2，点E（2，0），将线段OE绕点O逆时针旋转的到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E'A+E'B的最小值． 【答案】（1），；（2）最大值为6，点P的坐标为(，)；（3）E'A+E'B的最小值为 【分析】（1）把点（-1，0），B（0，3）代入，即可求得的值，得到抛物线的解析式令，求出抛物线与轴交点，根据待定系数法可以确定直线AB的解析式； （2）设点P的坐标为(，)，则点N的坐标为(，)，利用，得到，利用二次函数的性质即可求解； （3）在y轴上 取一点M使得OM′=，构造相似三角形，可以证明AM′就是E'A+E'B的最小值． 【详解】（1）∵抛物线（m≠0）与x轴交于点（-1，0）与y轴交于点B（0，3）， 则有， 解得：， ∴抛物线的解析式为：， 令，得到， 解得：或， ∴A（4，0），B（0，3）， 设直线AB解析式为，则， 解得， ∴直线AB解析式为； （2）如图， 设点P的坐标为(，)， ∵PE⊥OA交直线AB于点N，交x轴于E， ∴点N的坐标为(，)， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为6， 此时点P的坐标为(，)； （3）如图中，在轴上 取一点M′使得OM′=，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′=OE． ∵OE′=2，OM′•OB=， ∴OE′2=OM′•OB， ∴， ∵∠BOE′=∠M′OE′， ∴△M′OE′∽△E′OB， ∴， ∴M′E′=BE′， ∴E'A+E'B=AE′+E′M′=AM′，此时E'A+E'B最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时）， 最小值=AM′=． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质、待定系数法、两点间线段最短等知识，第(3)问解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E'A+E'B的最小值． 2．如图1，抛物线与轴交于点、（点在点左侧），与轴交于点，连接，抛物线的对称轴直线与交于点、与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）如图2，把绕点顺时针旋转得到，求证：点在抛物线上； （3）如图3，在（2）的条件下，点是抛物线上的动点，连接、，当时，请直接写出直线的解析式． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）①；② 【分析】（1）根据抛物线与轴交于点 ，可求出，然后根据抛物线的对称轴直线为，可得，即可求解； （2）连接，作轴于点，令得方程，可得到 ， ，从而求出直线的解析式为，进而可得，根据旋转的性质，可得，从而是等边三角形，可得，在中，可得，，可得 ，然后代入抛物线解析式，即可求证； （3）过点M作GK⊥x轴，作DG⊥GK于点G，作KN⊥GK于点K，根据，，可得△BDE和△MDN是等腰直角三角形，可证得△DGM≌△MKN，得到点N ，根据旋转知识可得△BDN是等边三角形，然后分两种情况讨论：当点P在点B的上方时；当点P在点B的下方，分别求出即可． 【详解】解：（1）∵抛物线过点， ∴， ∵对称轴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）如图，连接，作轴于点， 令，得方程， 解得：， ∴ ， ， 设直线的解析式为 ， 把，代入，得： ，解得： ， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴ ， ， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ， ∴， 对于 当时， ∴点在抛物线上； （3）如图，过点M作GK⊥x轴，作DG⊥GK于点G，作KN⊥GK于点K， ∵，， ∴DE=2，OE=1，OB=3， ∴BE=2， ∴BE=DE， ∵DE⊥x轴， ∴△BDE是等腰直角三角形， ∴△MDN是等腰直角三角形， ∴DM=NM，∠DMN=90°， ∴∠DMG+∠KMN=90°， ∵∠DMG+∠GDM=90°， ∴∠GDM=∠KMN， ∵∠G=∠K=90°， ∴△DGM≌△MKN， MK=DG，KN=GM， ∵， ∴MK=DG= ，KN=GM=2-1=1， ∴点N ， ∵绕点顺时针旋转得到， ∴DB=DN，∠BDN=60°， ∴△BDN是等边三角形， ∴∠BND=60°， 当点P在点B的上方时， ∵， ∴∠DNP=， ∴PN垂直平分BD， ∵△BDE是等腰直角三角形， ∴PN过点E， 设直线PN的解析式为 把点N ，E（1，0）代入，得： ， 解得： ， ∴直线PN的解析式为 ； 当点P在点B的下方，记作时，则∠DN=∠BND+∠