期末难点特训（二） 和反比例函数综合有关的压轴题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（北师大版）

期末难点特训二（和反比例函数综合有关的压轴题） 1．如图1，在直角坐标系中，四边形OAPB是矩形，反比例函数（k＞0）经过点P，反比例函数的图象分别交线段AP，BP于C，D两点，连接CD，点G是线段CD上一点． (1)若点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，求反比例函数y（k＞0）的表达式； (2)在（1）的条件下，当∠DPG＝30°时，求点G的坐标； (3)如图2，若点G是OP与CD的交点，点M是线段OP上的点，连接MC、MD，当DM⊥MC时，请写出MG与CD的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，得出P点坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N，设GN＝x，则GM＝x，再根据S△PCD＝S△PDG＋S△PCG得出x的值，然后计算G点坐标即可； （3）设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，），求出直线OP和直线CD的解析式，根据G点是直线CD和直线OP的交点得出G点坐标，根据G点是CD的中点，即可得出MG＝CD． （1） 解：∵点C的横坐标为6，点D的纵坐标为3，四边形OAPB是矩形， ∴P（6，3）， ∵反比例函数y（k＞0）经过点P， ∴k＝6×3＝18， ∴反比例函数y的解析式为y； （2） 过点G作GM⊥PB于M，GN⊥AP于N， 设MG＝x， ∵∠DPG＝30°， ∴GN＝MP＝＝x， 由（1）知P（6，3）， 又∵反比例函数y＝的图象分别交线段AP，BP于C，D两点， ∴C（6，1），D（2，3）， ∴PD＝6−2＝4，PC＝3−1＝2， ∵S△PCD＝S△PDG＋S△PCG， ∴PD•PC＝PD•MG＋PC•GN， 即×4×2＝×4x＋×2×x， 解得x＝8−4， ∴MG＝8−4，GN＝8−12， 即G（18−8，4−5）； （3） MG＝CD，理由如下： 设P点坐标为（a，），则C（，），D（a，）， 设直线OP的解析式为y＝rx， 代入P点坐标得＝ra， ∴r＝， 即直线OP的解析式为y＝x， 即直线CD的解析式为y＝sx＋t， 代入C点和D点的解析式得： ， 解得：， 即直线CD的解析式为y＝x＋， ∵点G是直线OP和直线CD的交点， ∴x＝x＋， 解得x＝， ∴G（，）， ∵D（，），C（a，）， ∴线段CD的中点坐标为（，）， ∴点G是线段CD的中点， 又∵∠CMD＝90°， ∴MG＝CD． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质、一次函数的性质、矩形的性质等知识，熟练掌握反比例函数的性质、一次函数的性质等知识是解题的关键． 2．如图，过A(2，0)，B(0，2)的直线y＝﹣x+2与双曲线y＝（x＞0）交于P(，)，Q(，)两点，连接OQ．点C是线段OA上一点（不与O，A重合），CD⊥AB于D，DE⊥OB于E．设CA＝a． (1)求AQ的长； (2)当a为何值时，CE＝AC？ (3)设OQ，EC相交于点F，是否存在这样的点C，使得OEF为等腰三角形？若存在，求出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当时，CE=AC； (3)存在，点C的坐标为或或 【分析】（1）如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N．证明△ANQ是等腰直角三角形，可得结论； （2）如图1中，过点D作DG⊥OA于点G．用a表示出CE，OC，OE，利用勾股定理，构建方程求解即可； （3）存在．分三种情形：①如图2中，当EF=OF时，②如图3中，当OE=OF时，③当OE=EF时，分别利用等腰三角形的性质，构建方程求解即可． （1） 如图1中，过点Q作QN⊥OA于点N． ∵Q（）， ∴QN=， ∵∠BOA=90°，OA=OB=2， ∴∠OAB=∠OBA=45°， ∴AQ=QN=； （2） 如图1中，过点D作DG⊥OA于点G． ∵∠OAB=45°，CD⊥AB， ∴△CDA是等腰直角三角形， ∴DG=CA=a， ∵DE⊥OB， ∴四边形OEDG是矩形， ∴OE=DG=a， ∵CE=AC， ∴（2-a）2+（a）2=a2， 解得，（舍去），或， ∴当时，CE=AC； （3） 存在．由（2）可知，C（2-a，0），E（0，）， ∴直线CE的解析式为y=， ∵Q（）， ∴直线OQ的解析式为y=， 由， 解得， ， ①如图2中，当EF=OF时，过点F作FH⊥OE于点H，则OH=OE， ∴， 解得，a=0（舍去）或a=， ∴C（，0）． ②如图3中，当OE=OF时，则OF=a， 过点F作FH⊥OC于点H． ∵， ∴FH=OH， ∴FH=OF=， ∴ 解得，a=0（舍去）或a= ∴C（，0）． ③当OE=EF时，过点E作EK⊥OF于点K， FH=OH， 则OK=OF=FH， EK⊥OF， ， 又，