第06讲 单调性与最值(值域)（知识总结+必会题型+好题必刷）-2022-2023学年高一数学上学期期末备考讲与练（北师大版2019必修第一册）

第6讲 单调性与最值(值域) 期末大总结 目 录 速 览 第一部分：必会知识结构导图 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳 必会题型一：函数单调性定义及证明 必会题型二：复合函数的单调性 必会题型三：单调性求参数范围 必会题型四：利用单调性及分离常数法求函数值域(最值) 必会题型五：利用复合函数及换元法求函数值域(最值) 必会题型六：利用判别式法及不等式求函数值域(最值) 第一部分：知识结构导图速看 第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结 1．函数单调性的刻画(如图) (1)图形刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若它的图像从左向右连续上升(下降)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的； (2)定性刻画，对于给定区间上的函数y＝f(x)，若函数值随自变量的增大而增大(减小)，则称函数在该区间上是单调递增(减)的． 2．函数的单调性的定义 (1)增函数：定义域内的一个区间A上，任取x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[或当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)]，称函数y＝f(x)在A上是增函数[等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0]； (2)减函数：定义域内的一个区间A上，任取x1，x2∈A，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)[或当x1＞x2时，都有f(x1)＜f(x2)]，称函数y＝f(x)在A上是减函数[等价于(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0]； 3．判断函数单调性的常见方法： (1)定义法及步骤： ①取值作差：在给定区间上任取两个值x1、x2，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝……； ②变形定号：对上式通过因式分解、配方、分母有理化等方法变形，尽量化成几个最简因式乘积的形式，并判断符号；若不能确定，则可分区间讨论； ③结论：根据差的符号，得出单调性的结论． (2)直接分析法：运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出．另常用到以下结论： ①函数y＝－f(x)与函数y＝f(x)的单调性相反． ②函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y＝与y＝f(x)的单调性相反． ③在公共区间内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数等． (3)图像法：根据函数图像的升、降情况进行判断． (4)复合函数法(同增异减)：复合函数单调性的判定有如下结论 ①若g(x)∈[a，b]是[m，n]上的增(减)函数，f(x)是[a，b]上的增(减)函数，则f[g(x)]在[m，n]上是增函数． ②若g(x)∈[a，b]是[m，n]上的减(增)函数，f(x)是[a，b]上的增(减)函数，则f[g(x)]在[m，n]上是减函数． 4．函数单调性的用途 (1)运用函数单调性求最值是求解函数最值问题的重要方法，特别是当函数图像不好作或作不出来时，单调性几乎成为首选方法．函数的最值与单调性的关系： ①若函数在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(a)，最小值为f(b)． ②若函数在闭区间[a，b]上是增函数，则f(x)在[a，b]上的最大值为f(b)，最小值为f(a)． (2)比较大小及解不等式 5．两种常见函数图像及性质 (1)形如y＝x－，a＞0图像(如图)及性质：在区间(－∞，0)和(0，＋∞)分别单调递增，可直接利用函数的单调性解题． (2)形如y＝x＋，a＞0(对勾函数)图像(如图)及性质：在区间(－∞，－]和[，＋∞)单调递增， 在区间[－，0)和(0，]单调递减；“对勾函数”在区间(－∞，0)上，x＝－时有最大值ymax＝－2；在区间(0，＋∞)上，x＝时有最小值ymin＝2．合理利用对勾函数的图像及性质会给解题带来很多方便！ 6．求函数值域(最值)的常用方法 (1)单调性法：若所给函数为单调函数，可根据函数的单调性求最值． (2)数形结合法：先做出函数的图象，观察函数图像的“最高点”和“最低点”，可利用数形结合法求函数的值域或最值． (3)有界性法(反解法)：利用代数式的有界性(如x2≥0，≥0等)确定函数的值域． (4)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解． (5)换元法：通过对函数的解析式进行适当的换元，可将复杂的函数化归为简单的函数，利用这些函数的值域求原函数的值域．用换元法求函数的值域时要注意换元后辅助元(也叫中间变量)的取值范围．求形如y＝＋(cx＋d)(ac≠0)的函数的值域或最值，常用代数换元法法结合题目条件将原函数转化为熟悉的函数，再利用函数的相关性质求解． (6)判别式法：形如y＝(a1，a2不同时为0)的函数，当分子分母没有公因式时(分子、分母有公因式时，先约去公因式)，将函数的解