专项22 二次函数解析式的方法归类（4种类型）-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项22 二次函数解析式的方法归类（4种类型） 类型一：待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，a不等于0） 已知抛物线上任意三点的坐标可求函数解析式。 （2）顶点式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)。顶点坐标为（h,k)；对称轴为直线x=h；顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最值=k.有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。 （3）交点式：仅限于与x轴即y=0有交点时的抛物线，即b²-4ac≥0]。 已知抛物线与x轴即y=0有交点A(, 0)和B(, 0),我们可设y=a（x-)(x-),然后把第三点代入x、y中便可求出a。 类型二：运用几何图形性质求抛物线解析式 1. 确定解析式的形式，设出解析式的表达式； 2. 代入解析式中，形成关于待定系数的方程或方程组； 3. 解方程或方程组，求出相应的待定系数； 4. 然后回代所设的解析式中即可。 【典例1】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴． 【变式1-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。求该二次函数的解析式 【变式1-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式． 【典例2】已知抛物线顶点为（1，﹣4），且又过点（2，﹣3）.求抛物线的解析式. 【变式2-1】已知抛物线的顶点为 ，且经过点 ，求此抛物线的解析式． 【典例3】已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式． 【变式3-1】已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标为（－3，0），（1，0），且与y轴的交点坐标为（0，－3），求这个二次函数的解析式 【典例4】如图，抛物线y=x2+bx+c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x=-3，求抛物线的解析式。 【变式4】已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． 【典例5】（2020秋•郫都区期末）如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．若选取拱形顶点C为坐标原点，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为　 　． 【变式5】（2021秋•黔西南州期末）中国贵州省省内的射电望远镜（FAST）是目前世界上口径最大，精度最高的望远镜．根据有关资料显示，该望远镜的轴截面呈抛物线状，口径AB为500米，最低点P到口径面AB的距离是100米，若按如图（2）所示建立平面直角坐标系，则抛物线的解析式是　 ． 【典例6】（2021秋•海珠区校级期中）如图，某隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长OA为12m，宽OB为4m，隧道顶端D到路面的距离为10m，建立如图所示的直角坐标系． （1）求该抛物线的解析式； （2）一辆货运汽车载一长方体集装箱，集装箱最高处与地面距离为6m，宽为4m，隧道内设双向行车道，问这辆货车能否安全通过？ 【变式6】（2021•安徽模拟）如图①，一个横截面为抛物线形的隧道，其底部的宽AB为8m，拱高为4m，该隧道为双向车道，且两车道之间有0.4m的隔离带，一辆宽为2m的货车要安全通过这条隧道，需保持其顶部与隧道间有不少于0.5m的空隙，按如图②所建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线对应的函数关系式； （2）通过计算说明该货车能安全通过的最大高度． 1．抛物线 的顶点为 ，且过点 ，求抛物线的解析式. 2．已知二次函数y=-x2+bx+c的图象经过(-1，0)，(0，5)两点，求此二次函数的解析式． 5.已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式． 3.已知一个二次函数的图象经过点A（﹣1，0）、B（3，0）和C（0，﹣3）三点；求此二次函数的解析式． 4.已知抛物线y=ax2+bx-1的图象经过点（-1，2），其对称轴为x=-1．求抛物线的解析式． 5．抛物线过点(9，0)、(5，16)、(1，0)，求二次函数解析式，并画出函数图象. 6.（2021九上·百色期末）如图，一位运动员在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈.已知篮圈中心到地面的距离为3.05米. （1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式； （2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是