4.3.1等比数列的概念（第二课时）-【361课堂】2022-2023学年高二数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019选择性必修第二册)

第四章 数列 4.3.1等比数列的概念 第二课时 1 课程标准 1.通过生活中的实例，理解等比数列的概念和通项公式的意义； 2.探索并掌握等比数列的前n项和公式，理解等比数列的通项公式与前n项和公式的关系； 3.能在具体问题的情境中，发现数列的等比关系，并解决相应问题； 4.体会等比数列与指数函数的关系。 2 复习回顾 回顾1 等比数列的定义与递推公式是怎样的？ 一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数, 那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示(显然)． 等比数列的递推关系： 或 回顾2 等比数列的通项公式是什么？ 首项为,公比为的等比数列的通项公式为 （n∈N﹡, q≠0） 3 课前导入 实际 概念 递推 通项 前n项和 4 一 二 三 教学目标 能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算 通过利用等比数列的相关公式解决实际应用问题，提升学生的数学建模和数学运算素养 教学目标 难点 重点 新知探究 探究一：等比数列的应用 6 例题讲解 例4.用 10000元购买某个理财产品一年. (1)若以月利率的复利计息，12个月能获得多少利息（精确到1元）？ (2)若以季度复利计息，存4个季度，则当每季度利率为多少时，按季结算的利息不少于按月结算的利息（精确到）？ l 解(1)：设这笔钱存个月以后的本利和组成一个数列，则是等比数列，首项，公比， ∴ 所以，12个月后的利息为(元). 7 新知讲解 解(2)：设季度利率为，这笔钱存个季度以后的本利和组成一个数列，则是一个是等比数列，首项，公比为，于是 因此，以季度复利计算，存4个季度后的利息为元. 解不等式，得. 所以，当季度利率不小于时，按季结算的利息不少于按月结算的利息. 8 例题讲解 例5.已知数列的首项. (1)若为等差数列，公差，证明数列为等比数列； (2)若为等比数列，公比，证明数列为等差数列. l 解(1)：由，，得的通项公式为. 设，则. 又 所以，是以为首项，9为公比的等比数列. 9 新知讲解 解(2)：由，，得. 两边取以3为底的对数，得 所以， 又 所以，是以为首项，为公差的等差数列. 10 合作探究 思考1：已知且，如果数列是各项均为正的等比数列，那么数列是否一定是等差数列？ 思考2：等比数列中，已知，试证明 l 11 新知讲解 证明：∵设各项均为正的等比数列的首项为，公比为，则 . 所以，是以为首项，为公差的等差数列. 12 新知讲解 证明：∵设等比数列的首项为，公比为，则 ， ， 而，∴. 而，∴. 若是等比数列，公比为，正整数满足， 则.特别地，当时， 13 新知讲解 例6.某工厂去年12月试产1050个高新电子产品，产品合格率为90%.从今年1月开始，工厂在接下来的两年中将生产这款产品.1月按去年12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的基础上提高5%，产品合格率比前一个月增加0.4%，那么生产该产品一年后，月不合格的数量能否控制在100个以内？ l 解：从今年1月起，各月的产量及不合格率分别构成数列，. 由题意，知 其中 14 新知讲解 解：则从今年1月起，各月不合格产品的数量是 . 由计算工具计算 1 2 3 4 5 6 7 105.5 105.8 106.5 107.0 107.2 107.2 106.9 8 9 10 11 12 13 14 106.4 105.5 104.2 102.6 100.6 98.1 95.0 观察发现，数列先递增，在第6项以后递减，所以只要设法证明当时，递减，且即可. 15 新知讲解 由， 得 所以，当时，递减. 又，所以，当时，. 所以，生产该产品一年后，月不合格的数量能控制在100个以内. 16 例题小结 1.构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式求解. 2.通过归纳得到结论，再用数列知识求解. 17 新知探究 探究一：等比数列的性质 18 新知讲解 等比数列的性质 1.若数列，是项数相同的等比数列，则也是等比数列.特别地，若是等比数列，是不等于0的常数，则也是等比数列. 2.在等比数列中，若，则. 3.等比数列是有穷数列，则与首末两项距离相等的两项的积相等，且等于首末两项的积. 19 概念生成 4.在等比数列中，每隔项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为. 5.在等比数列中，当成等差数列时，成等比数列. 注：在应用等比数列的性质解题时,需时刻注意等比数列性质成立的前提条件. 验证方式：特殊值！ 20 课堂小结 （1）等比数列的应用 （2）等比数列的性质 21 $